推广#

• $x=g(y,z)$，$\displaystyle A=\iint_{D_{yz}}\sqrt{1+g_y^2+g_z^2}\mathrm dy \mathrm dz$
• $y=h(x,z)$，$\displaystyle A=\iint_{D_{xz}}\sqrt{1+h^2_x+h^2_z}\mathrm dx \mathrm dz$

例题#

1. 求 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $x^2+y^2=x$ 内部的面积

   

   解：$z_x=\dfrac{x}{z}$，$z_y=\dfrac{y}{z}$，$D_{xy}:x^2+y^2\le x$

   $A=\iint_{D_{xy}}\sqrt{2}\mathrm dx \mathrm dy=\sqrt{2}\iint_{D_{xy}}\mathrm dx \mathrm dy = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\pi$

2. 求 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被 $z^2=2x$ 所截部分的面积

   

   解：$D_{xy}:\begin{cases}z=\sqrt{x^2+y^2}\\z^2=2x\end{cases}\Rightarrow（消z）\begin{cases}x^2+y^2=2x\\z=0\end{cases}$

   $A=\iint_{D_{xy}}\sqrt{2}\mathrm dx \mathrm dy=\sqrt{2}\pi$

形心公式的应用#

• $\bar{x}$ 与 $\sigma / V$ 容易计算

例题#

1. $\Omega$ 关于 $xOy$ 面对称，$\bar{z}=0$；$\Omega$ 关于 $y=2$ 对称，$\bar{y}=2$

2. $\Omega: z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 和 $z=0$ 所围闭区域，求 $\Omega$ 的形心

   解：$\Omega$ 关于 $xOy$ 和 $yOz$ 面对称，$(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ 在 $z$ 轴上，$\bar{x}=0$，$\bar{y}=0$，$z^2=a^2-x^2-y^2$

   $$\begin{align*} \bar{z}&=\dfrac{\iiint_\Omega z \mathrm d\sigma}{\sigma}\\ &=\dfrac{\int_0^a z\pi(a^2-z^2) \mathrm dz}{\frac{2}{3}\pi a^3}\\ &=\dfrac{\frac{1}{4}\pi a^4}{\frac{2}{3}\pi a^3}\\ &=\dfrac{3}{8}a \end{align*}$$

   $\therefore$ 所求为 $(0,0,\dfrac{3}{8}a)$

3. 求 $I=\iint_D (5x+3y) \mathrm d\sigma$，$D:x^2+y^2+2x-4y\le 4$

   解：$(x+1)^2+(y-2)^2 \le 9$，$\bar{x}=-1$，$\bar{y}=2$

   $\sigma = 9\pi$

   $$\begin{align*} I&=5\iint_D x \mathrm d\sigma + 3\iint_D y \mathrm d\sigma\\ &=5\bar{x}\cdot \sigma+3\bar{y}\cdot \sigma\\ &=9\pi \end{align*}$$

4. 求 $I=\iint_D y \mathrm dx \mathrm dy$，$D:x=-2,y=2,x=-\sqrt{2y-y^2}$ 所围区域

   

   解：$I=\bar{y}\cdot \sigma = 1\cdot(2\times 2-\dfrac{1}{2}\pi \times 1^2)=4-\dfrac{\pi}{2}$

5. 求 $I=\iiint_\Omega(x+y+z)\mathrm dV$，$\Omega:0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1$ 所围体积

   解：$I=\bar{x}V+\bar{y}V+\bar{z}V=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})\times 1=\dfrac{3}{2}$