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4 分钟
9.1 二重积分
2025-12-03
高等数学
数学

§\S9.1 二重积分#

一、引例#

求曲顶柱体的体积

  1. 分割
  2. 代替 V小曲顶≈V小柱=f(ξi,ηi)ΔσiV_{小曲顶}\approx V_{小柱}=f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i
  3. 求和 ∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi≈V曲顶\displaystyle \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i \approx V_{曲顶}
  4. 取极限 lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi=V曲顶\displaystyle \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i=V_{曲顶}（λ=max⁡{Δσi}\lambda = \max \{\Delta \sigma_i\}）

二、定义#

f(x,y)f(x,y) 在有界闭区域D上：

  • 任意划分D：Δσ1\Delta \sigma_1、Δσ2\Delta \sigma_2、……、Δσn\Delta \sigma_n
  • 任意取点 (ξi,ηi)∈Δσi(\xi_i,\eta_i) \in \Delta \sigma_i

若 ∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\displaystyle \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i 存在，则称该极限为 f(x,y)f(x,y) 在 D 上的二重积分【其中 λ=max⁡{d1,d2,⋯ ,dn}\lambda =\max\{d_1,d_2,\cdots,d_n\}】。记为

∬Df(x,y)dσ=∬Df(x,y)dxdy\iint_D f(x,y) \mathrm d\sigma = \iint_D f(x,y) \mathrm dx \mathrm dy

其中

  • D 为积分区域
  • f(x,y)f(x,y) 为被积函数
  • dσ\mathrm d\sigma 为面积元素/面元

  • f(x,y)≥0f(x,y)\ge 0 时，其几何意义为圆顶柱体体积
  • f(x,y)=1f(x,y)=1 时，∬D1⋅dσ=σ\displaystyle \iint_D 1\cdot \mathrm d\sigma = \sigma，为积分区域面积
    • 其物理意义为平面薄片的质量

f(x,y)f(x,y) 存在 ⇒\Rightarrow 二重积分存在

三、二重积分的性质#

  • 线性性质 ∬D[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α∬Df(x,y)dσ+β∬Dg(x,y)dσ\begin{align*} \iint_D [\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)] \mathrm d\sigma = \alpha \iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma + \beta \iint_D g(x,y)\mathrm d\sigma \end{align*}
  • 区域可加性 ∬Df(x,y)dσ=∬D1f(x,y)dσ+∬D2f(x,y)dσ，其中D=D1+D2\begin{align*} \iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma = \iint_{D_1}f(x,y)\mathrm d\sigma + \iint_{D_2}f(x,y)\mathrm d\sigma，其中 D=D_1+D_2 \end{align*}
  • 保序性
    • f(x,y)≥0⇒∬Df(x,y)dσ\displaystyle f(x,y)\ge 0 \Rightarrow \iint_Df(x,y)\mathrm d\sigma
    • f(x,y)≥g(x,y)⇒∬Df(x,y)dσ≥∬Dg(x,y)dσ\displaystyle f(x,y)\ge g(x,y) \Rightarrow \iint_Df(x,y)\mathrm d\sigma \ge \iint_Dg(x,y)\mathrm d\sigma
    • −∣f(x,y)∣≤f(x,y)≤∣f(x,y)∣⇒−∬D∣f(x,y)∣dσ≤∬Df(x,y)dσ≤∬D∣f(x,y)∣dσ\displaystyle -|f(x,y)|\le f(x,y)\le |f(x,y)| \Rightarrow -\iint_D|f(x,y)|\mathrm d\sigma\le \iint_Df(x,y)\mathrm d\sigma \le \iint_D|f(x,y)|\mathrm d\sigma
    • ∣∬Df(x,y)dσ∣≤∬D∣f(x,y)∣dσ\displaystyle |\iint_Df(x,y)\mathrm d\sigma|\le \iint_D|f(x,y)|\mathrm d\sigma
  • 估值定理
    • f(x,y)f(x,y) 是有界闭区域D上的连续函数，m≤f(x,y)≤Mm\le f(x,y)\le M，则 mσ≤∬Df(x,y)dσ≤Mσ\displaystyle m\sigma \le \iint_Df(x,y)\mathrm d\sigma\le M\sigma
  • 中值定理
    • m≤∬Df(x,y)dσσ≤M\displaystyle m\le \dfrac{\iint_Df(x,y)\mathrm d\sigma}{\sigma}\le M，存在 (ξ,η)∈D(\xi, \eta)\in D，f(ξ,η)=∬Df(x,y)dσσf(\xi, \eta)=\dfrac{\iint_Df(x,y)\mathrm d\sigma}{\sigma}。
    • ∬Df(x,y)dσ=σ⋅f(ξ,η)\displaystyle \iint_Df(x,y)\mathrm d\sigma = \sigma \cdot f(\xi, \eta)【曲顶柱体≈某柱体】
  • 对称性
    • 若D关于x轴对称，令 D1D_1 为上半部分 ∬Df(x,y)dxdy={2∬D1f(x,y)dxdyf(x,y)=f(x,−y)0f(x,y)=−f(x,−y)\begin{align*} \iint_Df(x,y)\mathrm dx \mathrm dy=\begin{cases} 2\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm dx \mathrm dy & f(x,y)=f(x,-y)\\ 0 & f(x,y)=-f(x,-y) \end{cases} \end{align*}
    • 若D关于y轴对称，令 D1D_1 为左半部分 ∬Df(x,y)dxdy={2∬D1f(x,y)dxdyf(x,y)=f(−x,y)0f(x,y)=−f(−x,y)\begin{align*} \iint_Df(x,y)\mathrm dx \mathrm dy=\begin{cases} 2\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm dx \mathrm dy & f(x,y)=f(-x,y)\\ 0 & f(x,y)=-f(-x,y) \end{cases} \end{align*}
    • 若D关于原点对称，令 D1D_1 为第一象限部分 ∬Df(x,y)dσ={2∬D1f(x,y)dσf(x,y)=f(−x,−y)0f(x,y)=−f(−x,−y)\begin{align*} \iint_Df(x,y) \mathrm d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm d\sigma & f(x,y)=f(-x,-y)\\ 0 & f(x,y)=-f(-x,-y) \end{cases} \end{align*}
    • 若D关于y=xy=x对称，则 ∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ\displaystyle \iint_Df(x,y)\mathrm d\sigma=\iint_Df(y,x)\mathrm d\sigma

四、例题#

例0. 面积定义#

  1. 求 ∬DR2−x2−y2dxdy\iint_D \sqrt{R^2-x^2-y^2} \mathrm dx \mathrm dy，其中 D:x2+y2≤R2D:x^2+y^2\le R^2

    解：

    z=R2−x2−y2z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}，上半球面

    ∬DR2−x2−y2dxdy=12V球=23πR3\iint_D \sqrt{R^2-x^2-y^2} \mathrm dx \mathrm dy = \dfrac{1}{2} V_球=\dfrac{2}{3}\pi R^3

  2. 求 ∬Dx2+y2dxdy\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm dx \mathrm dy，其中 D:x2+y2≤4D:x^2+y^2\le 4

    解：

    z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}，锥面

    I=V柱−V锥=S1h−13S2h(S1=S2±4π)=23⋅4π⋅2=163π\begin{align*} I&=V_柱-V_锥\\ &=S_1h-\dfrac{1}{3}S_2h\quad(S_1=S_2\pm 4\pi)\\ &=\dfrac{2}{3}\cdot 4\pi \cdot 2 = \dfrac{16}{3}\pi \end{align*}

例1. 对称性#

  1. D:x2+y2≤1D:x^2+y^2\le 1

∬Dx2dxdy=∬Dy2dxdy=12(∬Dx2dxdy+∬Dy2dxdy)=12∬D(x2+y2)dxdy\begin{align*} \iint_D x^2 \mathrm dx \mathrm dy &= \iint_D y^2 \mathrm dx \mathrm dy \\ &=\dfrac{1}{2}(\iint_D x^2 \mathrm dx \mathrm dy+\iint_D y^2 \mathrm dx \mathrm dy)\\ &=\dfrac{1}{2}\iint_D (x^2+y^2) \mathrm dx \mathrm dy \end{align*}

  1. 证明 ∬D(x2+x3y4)dσ=4∬D1x2dσ\iint_D (x^2+x^3y^4) \mathrm d\sigma = 4\iint_{D_1}x^2 \mathrm d\sigma，其中 D:∣x∣+∣y∣≤1D:|x|+|y|\le 1，D1D_1 为 DD 在第一象限的部分

    证：

    D关于x轴对称，D=D上+D下，f(x,y)=x2+x3y4f(x,y)=x^2+x^3y^4，f(x,−y)=x2+x3y4f(x,-y)=x^2+x^3y^4

    I=2∬D上(x2+x3y4)dσ=2∬D上x2dσ+2∬D上x3y4dσ=4∬D1x2dσ+0=4∬D1x2dσ,得证\begin{align*} I&=2\iint_{D_上}(x^2+x^3y^4) \mathrm d\sigma \\ &=2\iint_{D_上}x^2 \mathrm d\sigma + 2\iint_{D_上}x^3y^4 \mathrm d\sigma\\ &=4\iint_{D_1}x^2 \mathrm d\sigma + 0 = 4\iint_{D_1}x^2 \mathrm d\sigma, 得证 \end{align*}

  2. 化简 ∬D(xy+cos⁡xsin⁡y)dxdy\iint_D(xy+\cos x\sin y)\mathrm dx \mathrm dy，其中 D:(−1,1),(1,1),(−1,−1)D:(-1,1),(1,1),(-1,-1) 围成的三角域

    解：

    设 y=−xy=-x 将该区域从右上到左下分为四个 D1,D2,D3,D4D_1,D_2,D_3,D_4 小三角形区域

    I=∬Dxydxdy+∬Dcos⁡xsin⁡ydxdy=∬D1+D2xydxdy+∬D3+D4dxdy+∬D1+D2cos⁡xsin⁡ydxdy+∬D3+D4cos⁡xsin⁡ydxdy=2∬Dcos⁡xsin⁡ydxdy\begin{align*} I&=\iint_D xy \mathrm dx \mathrm dy + \iint_D \cos x \sin y \mathrm dx \mathrm dy\\ &= \iint_{D_1+D_2}xy \mathrm dx \mathrm dy + \iint_{D_3+D_4} \mathrm dx \mathrm dy + \iint_{D_1+D_2} \cos x \sin y \mathrm dx \mathrm dy + \iint_{D_3+D_4} \cos x \sin y \mathrm dx \mathrm dy\\ &=2\iint_D \cos x \sin y \mathrm dx \mathrm dy \end{align*}

  3. 证明 ∬Dsin⁡(x−y)dσ=0\iint_D\sin(x-y)\mathrm d\sigma=0，其中 D:0≤x≤1,0≤y≤1D:0\le x\le 1,0\le y\le 1

    证：

    I=∬Dsin⁡(x−y)dσ=∬Dsin⁡(y−x)dσ=−∬Dsin⁡(x−y)dσ=−I\begin{align*} I&=\iint_D\sin (x-y) \mathrm d\sigma \\ &=\iint_D\sin(y-x) \mathrm d\sigma \\ &=-\iint_D\sin(x-y) \mathrm d\sigma = -I \end{align*}

    I=0I=0，得证

例2. 估值定理#

估计 ∬D(x2+4y2+9)D:x2+y2≤4\iint_D(x^2+4y^2+9)\quad D:x^2+y^2\le 4 的值

解：讨论 f(x,y)=x2+4y2+9f(x,y)=x^2+4y^2+9 在 x2+y2≤4x^2+y^2\le 4 的最值

设 L(x,y,λ)=x2+4y2+9+λ(x2+y2−4)L(x,y,\lambda)=x^2+4y^2+9+\lambda(x^2+y^2-4)

{Lx=2x+2λx=0Ly=8y+2yλ=0x2+y2=4\begin{align*} \begin{cases} L_x=2x+2\lambda x=0\\ L_y=8y+2y\lambda =0\\ x^2+y^2=4 \end{cases} \end{align*}

解得 {x=2y=0\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases} 或 {x=0y=2\begin{cases}x=0\\y=2\end{cases}，f(2,0)=13f(2,0)=13，f(0,2)=25f(0,2)=25

驻点：

{fx=2x=0fy=8y=0\begin{align*} \begin{cases} f_x=2x=0\\ f_y=8y=0 \end{cases} \end{align*}

解得 {x=0y=0\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}，f(0,0)=9f(0,0)=9

∴9≤f(x,y)≤25\therefore 9\le f(x,y)\le 25，36π≤I≤100π36\pi \le I \le 100\pi

例3. 积分中值定理#

估计 lim⁡r→01πr2∬Dex2−y2cos⁡(x+y)dxdyD:x2+y2≤r2\displaystyle \lim_{r\to 0}\dfrac{1}{\pi r^2}\iint_D e^{x^2-y^2}\cos(x+y) \mathrm dx \mathrm dy\quad D:x^2+y^2\le r^2 的值

解：I=eξ2−η2cos⁡(ξ+η)πr2(ξ,η)∈DI=e^{\xi^2-\eta^2}\cos(\xi+\eta)\pi r^2\quad(\xi,\eta)\in D

原式 =lim⁡r→0eξ2−η2cos⁡(ξ+η)=lim⁡(ξ,η)→(0,0)eξ2−η2cos⁡(ξ+η)=1\displaystyle=\lim_{r\to 0}e^{\xi^2-\eta^2}\cos(\xi+\eta)=\lim_{(\xi,\eta)\to (0,0)}e^{\xi^2-\eta^2}\cos(\xi+\eta)=1

如果 D′:x2+(y−1)2≤r2D':x^2+(y-1)^2\le r^2 呢？

原式 =lim⁡r→0eξ2−η2cos⁡(ξ+η)=lim⁡(ξ,η)→(0,1)eξ2−η2cos⁡(ξ+η)=cos⁡1e\displaystyle =\lim_{r\to 0}e^{\xi^2-\eta^2}\cos(\xi+\eta)=\lim_{(\xi,\eta)\to(0,1)}e^{\xi^2-\eta^2}\cos(\xi+\eta)=\dfrac{\cos 1}{e}

9.1 二重积分
https://gitee.com/jason_ren/advanced-math-note
作者
Jason Ren
发布于
2025-12-03
许可协议
CC BY-SA 4.0

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8.8 极值及其求法
9.2 二重积分的计算
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