例题#

1. 求 $\begin{cases}y=\sqrt{2x}\\ z=1-x\end{cases}$ 在 $(2,2,-1)$ 处的切线方程

   解：$2\vec{T}=(1,\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}},-1)|_{x=2}=2(1,\dfrac{1}{2},-1)=(2,1,-2)$

   $$\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$$

2. 求 $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=6\\ x+y+z=0\end{cases}$ 在 $P(1,1,-2)$ 处的切线和法平面

   解： $\vec{\alpha}=(F_x,F_y,F_z)|_P=(2,2,-4)$ $\vec{\beta}=(G_x,G_y,G_z)|_P=(1,1,1)$

   $\vec{\alpha} \times \vec{\beta}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&2&-4\\1&1&1\end{vmatrix}=6\vec{i}-6\vec{j}$

   取 $(1,-1,0)$，切线方程为 $\begin{cases}\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}\\ z=-2\end{cases}$

例题#

求 $z=4-x^2-y^2$ 平行于平面 $2x+2y+z-1=0$ 的切平面方程

解：$\vec{n}=(2,2,1)$

设切点 $(x_0,y_0,4-x_0^2-y_0^2)$

$\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)=(-2x,-2y,-1)|_{P_0}=(-2x_0,-2y_0,-1)$

$\dfrac{-2x_0}{2}=\dfrac{-2y_0}{2}=\dfrac{-1}{1}=k$

$x_0=y_0=1$，$z_0=2$

切平面 $2(x-1)+2(y-1)+1\cdot (z-2)=0$

法线 $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$