邻域#

$P_0(x_0,y_0)$

• $U(P_0,\delta)=\{P||P_0P|\lt \delta\}$
• $U(P_0)=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt \delta\}$
• $\overset{\circ}{U}(P_0,\delta)$【$\overset{\circ}{U}(P_0)$】$=\{P|0\lt|PP_0|\lt\delta\}=\{(x,y)|0\lt \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt \delta\}$

内点、外点和边界点#

$\forall P_0\in R^2,E\subseteq R^2$，$P_0$ 和 $E$ 具有

• 内点：$\exists U(P_0,\delta), U(P_0,\delta)\subset E$
• 外点：$\exists U(P_0,\delta), U(P_0,\delta)\cap E=\emptyset$
• 边界点：$\forall U(P_0,\delta)$，既有E的点又有不属于E的点，其全体为 $\partial E$

E的内点一定属于E，E的外点一定不属于E，E的边界点可能属于E。

聚点和孤立点#

• 聚点：$\forall \delta \gt 0$，$\overset{\circ}{U}(P_0,\delta)$ 内总有E的点
  • 内点和非孤立的边界点
• 孤立点：$\exists \delta \gt 0$，$U(P_0,\delta)\cap E=\{P_0\}$

开集和闭集#

• 开集：E的点都是E的内点
• 闭集：E的余集为开集

有界集和无界集#

• 有界集：$\exists \delta \gt 0, E\subset U(O,\delta)$，O为原点
• 无界集：非有界集

“有界、无界”和”开集、闭集”无必然联系

连通集和非联通集#

• 联通集：点集E内任何两点都可以用属于E的折线连接起来
• 非联通集

开区域和闭区域#

• 开区域：联通的开集
  • $\{(x,y)|x\gt 1\}$，开区域
  • $\{(x,y)||x|\gt 1\}$，开集，非开区域
• 闭区域：开区域连同其边界
  • 如 $\{(x,y)|x\ge 1\}$

例#

$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$，$D:\{(x,y)|x^2+y^2\le 1\}$

例题#

1. 求 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}(x^2+y^2)\sin\dfrac{1}{x^2+y^2}$

   解： 法一：令 $t=x^2+y^2$，$\displaystyle \lim_{t\to 0^+}\underset{0}{t}\underset{有界}{\sin \dfrac{1}{t}}=0$

   法二：$\epsilon-\delta$ 定义。$\forall \epsilon \gt 0,\exists \delta$，当 $\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\lt \delta$ 时，$|(x^2+y^2)\sin \dfrac{1}{x^2+y^2}|\le x^2+y^2\lt \delta^2 =\epsilon$

   取 $\delta =\sqrt{\epsilon}$ 可使原式成立

2. 求 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}(x\sin\dfrac{1}{y}+y\sin\dfrac{1}{x})$

   解：原式 $=\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}x\sin \dfrac{1}{y}+\lim_{(x,y) \to (0,0)}y\sin \dfrac{1}{x}=0+0=0$

   证明：$\forall \epsilon \gt 0, \exists \delta,0\lt \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\lt \delta$

   有

   $$\begin{align*} |x\sin \dfrac{1}{y}+y\sin \dfrac{1}{x}-0|&\le |x\sin \dfrac{1}{y}|+|y\sin \dfrac{1}{x}|\\ &\le |x|+|y|\\ &\le 2\sqrt{x^2+y^2}\\ &\lt 2\delta = \epsilon \end{align*}$$

   取 $\delta=\dfrac{\epsilon}{2}$ 可使原式成立

3. 求 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2}$

   解：

   $$\begin{align*} \lim_{\overset{(x,y) \to (0,0)}{y=kx}}\dfrac{2xy}{x^2+y^2}&=\lim_{x\to 0}\dfrac{2xkx}{x^2+k^2x^2}\\ &=\dfrac{2k}{k^2+1} \end{align*}$$

   与k有关，故极限不存在

4. 求 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{2x^2y}{x^2+y^2}$

   解：由夹逼定理得知

   $$\begin{align*} 0\le \left|\dfrac{2x^2y}{x^2+y^2}\right| \le \dfrac{2|x|^2|y|}{2|x||y|}=|x| \end{align*}$$

   $\therefore \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=0$

5. 求 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2+y^2)^{xy}$

   解：夹逼定理

   $$\begin{align*} 0\le |xy\ln(x^2+y^2)|\le \left |\dfrac{x^2+y^2}{2}\ln(x^2+y^2)\right| \end{align*}$$

   原式 $\displaystyle =\lim_{(x,y)\to (0,0)}e^{xy\ln(x^2+y^2)}=1$

6. 求 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$

   解：$\displaystyle \lim_{\overset{(x,y) \to (0,0)}{y=kx^2}}f(x,y)=\dfrac{k}{1+k^2}$，与k有关，所以极限不存在

7. 求 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{(|x|+|y|)^3}{x^2+y^2}$

   解： 法一：夹逼定理

   $$\begin{align*} 0\le \dfrac{(|x|+|y|)^3}{x^2+y^2}\le\dfrac{(2\sqrt{x^2+y^2})^3}{x^2+y^2}\le 8\sqrt{x^2+y^2} \end{align*}$$

   原式=0

   法二：$x=\rho \cos\theta$，$y=\rho \sin \theta$

   原式 $\displaystyle =\lim_{\rho\to 0^+}\dfrac{\rho^3(|\cos \theta|+|\sin \theta|)^3}{\rho^2}=\lim_{\rho \to 0^+}\underset{无穷小}{\rho} \underset{有界}{(|\cos \theta|+|\sin \theta|)^3}=0$

例题#

1. $f(x,y)=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 连续性如何？

   解：定义域D：$\{(x,y)|x^2+y^2\ne 0\}$

   $$\begin{align*} f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2xy}{x^2+y^2}\quad &(x,y)\ne(0,0)\\ 不存在\quad &(x,y)=(0,0) \end{cases} \end{align*}$$

   $\therefore$ 在 $(0,0)$ 间断

2. $f(x,y)=\dfrac{2x^2y}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 连续性如何？

   解：D：$\{(x,y)|x^2+y^2\ne 0\}$

   $$\begin{align*} f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2x^2y}{x^2+y^2} \quad &(x,y)\ne(0,0)\\ 0 \quad &(x,y)=(0,0) \end{cases} \end{align*}$$

   $\therefore$ 在 $(0,0)$ 连续

3. $f(x,y)=\begin{cases}\dfrac xy\cos \dfrac{1}{x},x\ne 0\\0, x=0\end{cases}$ 在 $(0,1)$ 的连续性如何？

   解：$f(0,1)=0$

   当 $x=0$ 时，$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,1)}f(x,y)=0$

   $x\ne 0$ 时，$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,1)}\underset{0}{x}y\underset{有界}{\cos \dfrac{1}{x}}=0$

   $\therefore \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,1)}f(x,y)=f(0,1)$，连续

4. $\displaystyle \lim_{x\to 0,y\to 0}\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0^2+0^2}=0$

连续函数性质#

对于有界闭区域上的二元连续函数，有如下性质

1. 【有界性和最值性定理】$f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续 $\Rightarrow \exists M\gt 0,\forall P\in D,|f(P)|\le M$，$\exists P_1,P_2\in D,f(P_1)=\max\{f(P)|P\in D\}$ ，$f(P_2)=\min\{f(P)|P\in D\}$
2. 【介值定理】$\forall \mu\in[m,M],\exists P\subseteq D$ 使得 $f(P)=\mu$（m为最小值，M为最大值）
3. 【一致连续】$\forall \epsilon \gt 0,\exists \delta \gt 0, \forall P_1,P_2\in D$，只要 $|P_1P_2|\lt \delta$，就有 $|f(P_1)-f(P_2)|\lt \epsilon$