三角级数的定义#

其中 $a_0$、$b_0$、$b_n$ 都是常数

三角级数的正交性#

$1$、$\cos \dfrac{\pi}{l}x$、$\sin \dfrac{\pi}{l}x$、$\cos \dfrac{2\pi}{l}x$、$\cos \dfrac{2\pi}{l}x$、$\cdots$、$\cos \dfrac{n\pi}{l}x$、$\cos \dfrac{n\pi}{l}x$ 的线性组合构成了三角级数

三角级数系在 $[-l,l]$ 上正交 $\displaystyle \Leftrightarrow \int_{-l}^lf(x)\cdot g(x)=0$，$f(x)$、$g(x)$ 属于三角函数系

Dirichlet 收敛定理#

若 $f(x)=f(x+2l)$ 在 $[-l,l]$ 满足

1. 连续或只有一个第一类间断点
2. 至多只有有限个极值点

则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，并且当

• $x$ 是 $f(x)$ 连续点时，级数收敛于 $f(x)$
• $x$ 是 $f(x)$ 间断点时，级数收敛于 $\dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$

周期延拓#

若 $f(x)$ 定义在 $[-l,l]$ 上，定义

这样定义的 $F(x)$ 就是周期为 $2l$ 的周期函数

例题#

1. $f(x)=f(x+2\pi)$，$f(x)=\begin{cases}-1,-\pi \lt x\le 0\\1+x^2,0\lt x\le \pi\end{cases}$，则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x=\pi$ 和 $x=4\pi$ 分别收敛于 $\dfrac{\pi^2}{2}$ 和 0

   利用图像确定连续点和间断点

   $S(\pi)=\dfrac{f(\pi^+)+f(\pi^-)}{2}=\dfrac{\pi^2}{2}$

   $S(4\pi)=0$

2. $f(x)=f(x+2\pi)$，$f(x)=\begin{cases}0,-\pi \le x\lt 0\\x,0\le x\lt \pi\end{cases}$，将 $f(x)$ 展开为傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2}$

   解：

   间断点：$x=(2k+1)\pi,k\in Z$

   $a_0=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \mathrm dx=\dfrac{\pi}{2}$

   $$\begin{align*} a_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx \mathrm dx\\ &=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos nx \mathrm dx\\ &=\dfrac{1}{\pi}\cdot \dfrac{1}{n} \int_0^\pi x \mathrm d(\sin nx)\\ &=\dfrac{1}{n\pi}(x\sin nx|_0^\pi-\int_0^\pi \sin nx \mathrm dx)\\ &=\dfrac{1}{n\pi}\cdot \dfrac{1}{n}\int_0^\pi \mathrm d\cos nx\\ &=\dfrac{\cos n\pi-1}{n^2\pi} \end{align*}$$ $$\begin{align*} b_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin nx \mathrm dx\\ &=\dfrac{1}{\pi}(-\dfrac{1}{n})\int_0^\pi x \mathrm d\cos nx\\ &=-\dfrac{1}{n\pi}(x\cos nx|_0^\pi -\int_0^\pi \cos nx \mathrm dx)\\ &=-\dfrac{\cos n\pi}{n}\\ &=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} \end{align*}$$

   $\displaystyle f(x)=\dfrac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^\infty [\dfrac{\cos n\pi -1}{n^2\pi}\cos nx+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx],x\ne (2k+1)\pi,k\in Z$

   $a_1=-\dfrac{2}{\pi}\cdot \dfrac{1}{1^2}$，$a_2=0$，$a_3=-\dfrac{2}{\pi}\cdot \dfrac{1}{3^2}$，$a_4=0$……

   $x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点，$\displaystyle f(0)=\dfrac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\pi n^2}(\cos n\pi-1)\cdot 1$

   $0=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{2}{\pi}(1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\cdots)$

   $S=\dfrac{\pi^2}{8}$

3. $f(x)=f(x+2\pi)$，$f(x)=e^{-x}$（$x\in [0,2\pi)$），将 $f(x)$ 展开为傅里叶级数

   解：

   间断点：$x=2k\pi,k\in Z$

   $$\begin{align*} a_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}e^{-x}\cos nx \mathrm dx\\ &=\dfrac{1}{n^2\pi}(1-e^{-2\pi})-\dfrac{1}{n^2}a_n \end{align*}$$

   $a_n=\dfrac{1}{(n^2+1)\pi}(1-e^{-2\pi})\quad(n=0,1,2,\cdots)$

   $b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}e^{-x}\sin nx \mathrm dx=\dfrac{n}{(n^2+1)\pi}(1-e^{-2\pi})\quad(n=1,2,3,\cdots)$

   $a_0=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}e^{-x}\mathrm dx=\dfrac{1}{\pi}(1-e^{-2\pi})$

   $\displaystyle f(x)=\dfrac{1-e^{-2\pi}}{2\pi}+\sum_{n=1}^\infty \left[\dfrac{1-e^{-2\pi}}{(1+n^2)\pi}\cos nx+\dfrac{n(1-e^{-2\pi})}{(n^2+1)\pi}\sin nx\right]\quad(x\ne 2k\pi,k\in Z)$

4. $f(x)=|x|$（$x\in [-\pi, \pi]$），将 $f(x)$ 展开为傅里叶级数

   解：

   

   $F(x)=|x|=F(x+2\pi),x\in[-\pi,\pi)$，无间断点

   $\displaystyle f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

   $$\begin{align*} a_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos nx \mathrm dx\\ &=\dfrac{2}{\pi}\int_0^x x\cos nx \mathrm dx\\ &=\dfrac{2}{n^2\pi}[(-1)^n-1] \end{align*}$$ $$\begin{align*} b_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi|x| \sin nx \mathrm dx=0 \end{align*}$$ $$a_0=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi x\cdot 1 \mathrm dx=\pi$$

   $\displaystyle f(x)=\dfrac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^\infty \dfrac{2}{n^2\pi}[(-1)^n-1]\cos nx,x\in [-\pi,\pi]$

5. $f(x)=x^2$（$x\in [0,2\pi]$），将 $f(x)$ 展开为傅里叶级数

   解：

   

   $f(x)\rightarrow F(x)=F(x+2\pi)$，间断点 $x=2k\pi,k\in Z$

   $a_0=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x^2 \mathrm dx=\dfrac{8}{3}\pi ^2$

   $a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x^2 \cos nx \mathrm dx=\dfrac{4}{n^2}$

   $b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x^2\sin nx \mathrm dx=-\dfrac{4\pi}{n}$

   $\displaystyle f(x)=\dfrac{4}{3}\pi^2+\sum_{n=1}^\infty (\dfrac{4}{n^2}\cos nx-\dfrac{4\pi}{n}\sin nx),x\in(0,2\pi)$

正弦级数#

只含有正弦函数项

奇函数的傅里叶级数为正弦级数

奇延拓#

若 $f(x)$ 定义在 $(0,l]$ 上，定义

然后再令 $F(x+2l)=F(x)$，这样定义的 $F(x)$ 就是周期为 $2l$ 的奇函数，它的傅里叶级数是一个正弦级数

余弦级数#

只含有余弦函数项

偶函数的傅里叶级数为余弦级数

偶延拓#

若 $f(x)$ 定义在 $(0,l]$ 上，定义

然后再令 $F(x+2l)=F(x)$，这样定义的 $F(x)$ 就是周期为 $2l$ 的偶函数，它的傅里叶级数是一个余弦级数

例题#

1. 将 $f(x)=\arcsin(\sin x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上展开为傅里叶级数

   解：

   $f(x)=\begin{cases}-\pi-x,x\in[-\pi,-\dfrac{\pi}{2})\\x,x\in[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\\\pi-x,x\in(\dfrac{\pi}{2},\pi]\end{cases}$

   $\because F(x)=-F(x)$

   $\therefore a_n=0$

   $b_n=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx \mathrm dx=\dfrac{4}{n^2\pi}\sin \dfrac{n\pi}{2}$

   $\displaystyle f(x)=\dfrac{4}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}\sin \dfrac{n\pi}{2} \sin nx=\dfrac{4}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2}\sin (2k-1)x,x\in[-\pi,\pi]$

2. 将 $f(x)=x$，$x\in[0,1]$ 展开为

   • 傅里叶级数

     解：周期延拓 $F(x)=F(x+1)$，间断点 $x=k,k\in Z$

     $a_n=2\int_0^1 x\cos 2n\pi x \mathrm dx=0(n=1,2,3,\cdots)$

     $a_0=2\int_0^1x \mathrm dx=1$

     $b_n=2\int_0^1 x \sin 2nx \mathrm dx=-\dfrac{1}{n\pi}$

     $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty (-\dfrac{1}{n\pi})\sin 2n\pi x,x\in(0,1)$

   • 正弦级数

     解：奇延拓 $F(x)=F(x+2)$，间断点 $x=2k+1,k\in Z$

     $a_n=0$

     $b_n=2\int_0^1 x\sin n\pi x \mathrm dx=\dfrac{2}{n\pi}(-1)^{n+1}$

     $\displaystyle x=\dfrac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\sin n\pi x,x\in[0,1)$

   • 余弦级数

     解：偶延拓，无间断点，$b_n=0$

     $a_0=2\int_0^1 x \mathrm dx=1$

     $a_n=2\int_0^1 x\cos n\pi x \mathrm dx=\dfrac{2}{n^2\pi^2}[(-1)^n-1]$

     $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{(2k-1)^2}\cos (2k-1)\pi x,x\in[0,1]$