定义#

$f(x)$ 在 $U(x_0)$ 具有任意阶导数，则称

（其中 $a_n=\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)$）为函数 $f(x)$ 的泰勒级数

易知：在 $x=x_0$ 处，泰勒级数收敛于 $f(x_0)$

定理1. 已知 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内任意可导，$f(x)$ 可展开为泰勒级数 $\Leftrightarrow \displaystyle \lim_{n\to \infty}R_n(x)=0$

证明：

$s(x)=f(x_0)+\dfrac{1}{1!}f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\cdots$，$x\in$ 收敛域

$f(x)=\underbrace{f(x_0)+\cdots+\dfrac{1}{n!}(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0)}_{s_n(x)} +R_n(x)$

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}s_n(x)=s(x)$

• 充分性：$f(x)=s(x)$，$s(x)=s_n(x)+R_n(x)$

  两边求极限，$\displaystyle s(x)=s(x)+\lim_{n\to \infty}R_n(x) \Rightarrow \lim_{n\to \infty}R_n(x)=0$

• 必要性：$s(x)=s_n(x)+R_n(x)$

  两边求极限：$\displaystyle \lim_{n\to \infty}s_n(x)=s(x)+0$

  $\displaystyle \lim_{x \to \infty}s_n(x)=s(x)$

函数展开成幂级数的方法#

1. 直接法：先求各阶导数，然后讨论 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} R_n(x)$ 在收敛域内是否恒为零

2. 间接法

   $$\begin{align*} f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots\\ x\in 收敛域 \end{align*}$$

   定理：$f(x)$ 可展开为幂级数 $\Rightarrow$ 形式唯一

   $a_n=\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)$

常用的麦克劳林级数#

1. $\displaystyle e^x=1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{1}{n!}x^n+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}x^n,x\in(-\infty,+\infty)$
2. $\displaystyle \sin x=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1},x\in(-\infty,+\infty)$
3. $\displaystyle \cos x=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n-2)!}x^{2n-2}=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},x\in(-\infty,+\infty)$
4. $(1+x)^m=1+\dfrac{m}{1!}x+\dfrac{m(m-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^n+\cdots,x\in(-1,1)$
   1. [$m=-1$] $\displaystyle \dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=1}^\infty (-x)^n=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots$
   2. $\displaystyle \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots$

例题#

1. 将 $f(x)=e^x$ 展开为 $x$ 的幂级数（麦克劳林级数/在 $x=0$ 处展开成泰勒级数）

   解：【直接法】

   • 求导 $(e^x)^{(n)}=e^x$，$a_n=\dfrac{1}{n!}$，收敛半径 $R=+\infty$，收敛域 $(-\infty,+\infty)$

     $e^x\sim 1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{1}{n!}x^n+\cdots$

   • 证明 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$

     $R_n(x)=\dfrac{1}{(n+1)!}e^\xi x^{n+1}$（$\xi$ 介于 0 和 x 之间）

     考虑 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(n+1)!}|x|^{n+1}$，

     $\because \rho=\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\dfrac{\frac{1}{(n+2)!}|x|^{n+2}}{\frac{1}{(n+1)!}|x|^{n+1}}\right|=\lim_{n\to \infty}\dfrac{|x|}{n+2}=0\lt 1$

     $\therefore \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ 收敛，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{(n+1)!}|x|^{n+1}=0$

     $0\le |R_n(x)|\le \dfrac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}$，根据夹逼定理，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}|R_n(x)|=0=\lim_{n\to \infty}R_n(x)$，得证

     故 $\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!},x\in(-\infty,+\infty)$

2. 证明上述麦克劳林级数公式4

   解：$f'(x)=m(1+x)^{m-1}$

   $f''(x)=m(m-1)(1+x)^{m-2}$，依此类推

   $f^{(n)}(0)=m(m-1)\cdots(m-n+1)$

   $s(x)=1+\dfrac{m}{1!}x+\cdots+\dfrac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^n+\cdots$

   证 $s(x)=f(x)$

   $$\begin{align*} s'(x)&=0+m+\dfrac{m(m-1)}{1!}x+\dfrac{m(m-1)(m-2)}{2!}x^2+\cdots\\ &=m[1+\dfrac{m(m-1)}{1!}x+\dfrac{m(m-1)(m-2)}{2!}x^2+\dfrac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{3!}x^3+\cdots]\\ &=ms_1(x)\\ s_1(x)&=1+\dfrac{m-1}{1!}x+\dfrac{(m-1)(m-2)}{2!}x^2+\cdots\\ xs_1(x)&=x+\dfrac{(m-1)}{1!}x^2+\cdots \end{align*}$$

   $(1+x)s_1(x)=s(x)$

   $s'(x)(1+x)=ms(x)\Rightarrow s(x)=c(1+x)^m$

   $\because s(0)=1$

   $\therefore C=1$，$s(x)=(1+x)^m=f(x)$

3. 将 $f(x)=e^{x^2}$ 展开成麦克劳林级数

   $\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}x^n$

   $\displaystyle e^{x^2}=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}(x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}x^{2n}$，$x\in(-\infty,+\infty)$

4. 将 $f(x)=e^x$ 展开成 $(x-1)$ 的幂级数

   $$\begin{align*} e^x&=e\cdot e^{x-1}\\ &=e\cdot \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}(x-1)^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{e(x-1)^n}{n!},x\in(-\infty,+\infty) \end{align*}$$

5. 将 $\ln(1+x)$ 展开为 $x$ 的幂级数

   $\displaystyle [\ln(1+x)]'=\dfrac{1}{1+x}\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n,x\in(-1,1)$

   $\displaystyle \int_0^x [\ln(1+x)]' \mathrm dt=\int_0^x \sum_{n=0}^\infty (-1)^nt^n \mathrm dt$

   $\displaystyle \ln(1+x)-\ln(1+0)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$

   $\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$，收敛域 $(-1,1]$

6. 将 $\ln(2+x)$ 展开为 $x$ 的幂级数

   $$\begin{align*} 原式 &=\ln\left[2(1+\dfrac{x}{2})\right]\\ &=\ln 2+\ln(1+\dfrac{x}{2})\\ &=\ln 2+\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{1}{n+1}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}x^{n+1}，x\in(-2,0] \end{align*}$$

7. 将 $f(x)=\arctan x$ 展开为 $x$ 的幂级数

   $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}, x\in(-1,1)$

   积分，得

   $\displaystyle \int_0^xf'(t)\mathrm dt=\int_0^x \sum_{n=0}^\infty (-1)^nt^{2n}\mathrm dt$

   $\displaystyle \arctan x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}, x\in[-1,1]$

   （$x=\pm 1$ 时，原级数收敛）

8. 将 $f(x)=\arctan \dfrac{1+x}{1-x}$ 展开为 $x$ 的幂级数

   $$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{1+\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2}\cdot \dfrac{1\cdot (1-x)-(1+x)\cdot(-1)}{(1-x)^2}\\ &=\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}, x\in(-1,1) \end{align*}$$

   $\displaystyle \int_0^xf'(t)\mathrm dt=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}, x\in[-1,1]$（$x=\pm 1$ 原级数收敛）

   $\displaystyle f(x)=\dfrac{\pi}{4}+\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}, x\in[-1,1)$（在 $x=1$ 不连续）

9. 将 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 展开为 $x-2$ 的幂级数

   解：$\displaystyle \dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n,x\in(-1,1)$

   $$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{1}{2+x-2}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{x-2}{2}}\\ &=\dfrac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(\dfrac{x-2}{2})^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(\dfrac{1}{2})^{n+1}(x-2)^n,x\in(0,4) \end{align*}$$

10. 将 $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ 展开为 $x-2$ 的幂级数

    解：$(-\dfrac{1}{x})'=\dfrac{1}{x^2}$，先积分后求导

    $$\begin{align*} \dfrac{1}{x^2}&=[\sum_{n=0}^\infty (-\dfrac{1}{2})^{n+1}(x-2)^n]'\\ &=\sum_{n=0}^\infty (\dfrac{1}{2})^{n+1}n(x-2)^{n-1},x\in(0,4) \end{align*}$$

11. 将 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+3x+2}$ 展开为 $x+4$ 的幂级数

    解：

    $$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\ &=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\\ &=\dfrac{1}{-3+x+4}-\dfrac{1}{-2+x+4}\\ &=-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{1-\frac{x+4}{3}}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{1-\frac{x+4}{2}}\\ &=-\dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^\infty (\dfrac{x+4}{3})^n+\dfrac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty (\dfrac{x+4}{2})^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty [(\dfrac{1}{2})^{n+1}-(\dfrac{1}{3})^{n+1}](x+4)^n,x\in(-6,-2) \end{align*}$$

12. 将 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+3x+2}$ 展开为 $x+\dfrac{3}{2}$ 的幂级数

    解：

    $$\begin{align*} 原式 &=\dfrac{1}{(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}}\\ &=-4\times \dfrac{1}{1-4(x+\frac{3}{2})^2}\\ &=-4\sum_{n=0}^\infty [4(x+\dfrac{3}{2})^2]^n,x\in(-\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{2}) \end{align*}$$

例题#

1. 近似计算 $\ln 3$

   解：

   $$\begin{align*} \ln 3&=\ln\dfrac{3}{2}-\ln\dfrac{1}{2}\\ &=\ln\dfrac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\\ &=2\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{2\times(\frac{1}{2})^3}{3}+\dfrac{2\times(\frac{1}{2})^5}{5}+\cdots\\ &=1+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{80}+\cdots\\ &\approx 1.0958 \end{align*}$$

2. 将 $f(x)=e^x\sin x$ 展开为麦克劳林级数

   解：

   $$\begin{align*} e^x&=(\cos x+i\sin x)\\ &=e^{(1+i)x}\\ &=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} [(1+i)x]^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} (1+i)^nx^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} \left[\sqrt{2}\cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]^nx^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} (\sqrt{2})^n(\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4})^nx^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} (\sqrt{2})^n(\cos \dfrac{n\pi}{4}+i\sin \dfrac{n\pi}{4})x^n \end{align*}$$

   $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}(\sqrt{2})^n\sin\dfrac{n\pi}{4}x^n,x\in(-\infty,+\infty)$