收敛域#

讨论敛散性

求法步骤：

1. [比值法/极值法] $\displaystyle \rho(x)=\lim_{n\to \infty}\left|\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|$ 或 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|u_n(x)|}$
2. $\rho(x)\lt 1 \Rightarrow x\in(a,b)$ 绝对收敛
3. $\rho(x)=1$，将 $x=a$、$x=b$ 代入检查 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(a)$、$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(b)$ 敛散性
4. 得到收敛域：$(a,b),[a,b],[a,b),(a,b]$

收敛半径#

1. 加减法#

在收敛域的公共部分，有

2. 乘法#

在收敛域的公共部分 $(-R,R) \quad R=\min\{R_1,R_2\}$，有

3. 除法#

其中 $a_0=b_0c_0$，$a_1=b_1c_0+b_0c_1$，$a_2=b_2c_0+b_1c_1+b_0c_2$……

1. 极限与求和可交换#

$s(x)$ 在收敛域上（单侧）连续，即 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}s(x)=s(x_0)=\sum_{n=0}^\infty \lim_{x\to x_0}a_nx^n$

2. 积分与求和可交换#

$s(x)$ 在收敛域上可积，其逐项积分公式为

3. 求导与求和可交换#

$s(x)$ 在收敛区间可导，其逐项求导公式为

例题#

1. $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 在 $x=2$ 条件收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}$ 的收敛半径为2。

2. 求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$ 的和函数

   解：$\rho=\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\dfrac{n}{n+1}\cdot(-1)\right|=1$，$R=\dfrac{1}{\rho}=1$，收敛区间 $(-1,1)$

   $x=1$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ 收敛；$x=-1$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-\dfrac{1}{n})$ 发散

   $\therefore$ 收敛域 $(-1,1]$

   $\displaystyle s'(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}x^{n-1}=\dfrac{1}{1-(-x)}=\dfrac{1}{1+x}$

   $\int_0^x s'(t)\mathrm dt=\int_0^x\dfrac{1}{1+t}\mathrm dt$

   $s(x)-s(0)=\ln(1+x)$

   $s(x)=\ln(1+x),x\in(-1,1)$

   $\because \displaystyle s(1)=\lim_{x\to 1^-}s(x)=\ln 2=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$

   综上所述，$s(x)=\ln(1+x),x\in(-1,1]$

3. 求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n(n+1)x^n$ 的和函数

   解：易知其收敛域为 $(-1,1)$

   $$\begin{align*} \int_0^xs(t)\mathrm dt&=\int_0^x \sum_{n=1}^\infty n(n+1)t^n \mathrm dt\\ &=\sum_{n=1}^\infty \int_0^xn(n+1)t^n \mathrm dt\\ &=\sum_{n=1}^\infty nx^{n+1} (x\in(-1,1))\\ &=x^2 \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} \end{align*}$$

   令 $\displaystyle s_1(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty s_1(t)\mathrm dt= \sum_{n=1}^\infty \int_0^xnt^{n-1}\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty x^n=\dfrac{x}{1-x}$

   $s_1(x)=\left(\dfrac{x}{1-x}\right)=\dfrac{1}{(1-x)^2}$

   $\displaystyle \int_0^x s(t)\mathrm dt=x^2s_1(x)=\dfrac{x^2}{(1-x)^2}$

   $s(x)=\left[\dfrac{x^2}{(1-x)^2}\right]'=\dfrac{2x}{(1-x)^3}\quad x\in(-1,1)$

4. 求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)}x^n$ 的和函数

   解：其收敛域为 $[-1,1]$

   $\displaystyle s(x)=\dfrac{1}{x}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)}x^{n+1}\quad(x\ne 0)$

   $\displaystyle s_1(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)}x^{n+1}\quad x\in(-1,0)\cup(0,1)$

   $\displaystyle s_1'(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}x^n$，$\displaystyle s_1''(x)=\sum_{n=1}^\infty x^{n-1}=\dfrac{1}{1-x}$

   $\displaystyle \int_0^xs_1''(t)\mathrm dt=\int_0^x\dfrac{1}{1-t}\mathrm dt$

   $s_1'(x)-s_1'(0)=-\ln|1-t|_0^x$

   $\displaystyle \int_0^xs_1'(t)\mathrm dt=-\int_0^x\ln(1-t)\mathrm dt$

   $s_1(x)-s_1(0)=-\left[\ln(1-t)t|_0^x+\int_0^xt\cdot \dfrac{1}{1-t}\mathrm dt\right]=-x\ln(1-x)+x+\ln(1-x)$

   $s(x)=-\ln(1-x)+1+\dfrac{\ln(1-x)}{x}\quad x\in[-1,0)\cup(0,1)$

   $s(0)=0$，$\displaystyle s(1)=\lim_{x\to 1^-}s(x)=1+\lim_{x\to 1^-}\dfrac{\ln(1-x)(1-x)}{x}=1$

   综上，$s(x)=\begin{cases}1-\ln(1-x)+\dfrac{\ln(1-x)}{x}\quad x\in[-1,0)\cup(0,1)\\0\quad x=0\\1\quad x=1\end{cases}$

5. 求 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}$ 的和函数

   解：$\displaystyle \rho=\lim_{n\to \infty}\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \dfrac{n!}{x^n}=0$，$R=+\infty$，收敛域为 $(-\infty,+\infty)$

   $s(x)=\sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}$

   $s'(x)=s(x)$

   $s(x)=c\cdot e^x$

   $\because s(0)=1$

   $\therefore C=1$，$s(x)=e^x$