定义#

级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 各项非负，即 $u_n\ge 0(n=1,2,3,\cdots)$，称此级数为正项级数

$\{S_n\}$ 为单调递增数列

定理#

1. [有界法] $$正项级数 \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛 \Leftrightarrow \{S_n\} 有上界\\ 正项级数 \sum_{n=1}^\infty u_n 发散 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}S_n=+\infty \\$$
2. [比较法] 设有正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$，若存在常数 $k\gt 0$，使得 $u_n\le k\cdot v_n$（对应通项）成立，有
   • $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛
   • $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散

   “大”收敛→“小”收敛，“小”发散→“大”发散

3. [比较法-极限形式] 设有正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$，且 $v_n\ge 0$，若 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{u_n}{v_n}=l$：
   • $0\lt l \lt +\infty$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$ 同敛散，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{u_n}{l\cdot v_n}=1$
   • $l=0$（$v_n$ 大，$u_n$ 小），$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛；$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散
   • $l=+\infty$（$u_n$ 大，$v_n$ 小），$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散；$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛
   • 推论：取 $v_n=\dfrac{1}{n^p}$，若 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}n^pu_n=l$，则
     • $p\gt 1$ 收敛，$0\le l \lt +\infty$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛
     • $p\le 1$ 发散，$0\lt l \le +\infty$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散
4. [比值法] 若 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(u_n\gt 0)$ 且 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则：
   • $0\le \rho \lt 1$ 时，级数收敛
   • $\rho \gt 1$ 时，级数发散
   • $\rho =1$ 时，应该用其他方法判定
5. [根值法] 若 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(u_n\gt 0)$ 且 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则：
   • $0\le \rho \lt 1$ 时，级数收敛
   • $\rho \gt 1$ 或 $\rho = +\infty$ 时，级数发散
   • $\rho =1$ 时，应该用其他方法判定
6. [积分法] 若 $f(x)$ 单调递减且非负，$u_n=f(n)(n\in N^+)$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 与 $\int_1^{+\infty} f(x)\mathrm dx$ 有相同的敛散性

例题#

1. [有界法] 证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ 收敛

   证：

   $$\begin{align*} S_n=\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}& \le 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\\ &=\dfrac{1-(\frac{1}{2})^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}\lt 2 \end{align*}$$

   即 $S_n$ 有上界 2

   $\therefore \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}$ 收敛

2. [比较法] 已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n(a_n\ge 0)$ 收敛，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$ 的敛散性

   解：法一

   $\because \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，$a_n\ge 0$

   $\displaystyle \therefore \lim_{n\to \infty}a_n=0$

   $\forall \epsilon \gt 0$，$\exists N$，当 $n\gt N$ 时，取 $\epsilon =1$，$|a_n-0|\lt \epsilon$，$a_n\lt \epsilon = 1$

   $a_n^2\lt a_n$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$ 也收敛

   法二

   $\displaystyle \rho = \lim_{n\to \infty}\dfrac{a_n^2（小）}{a_n（大）}=\lim_{n\to \infty}a_n=0$

   $\because \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛

   $\therefore \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$ 收敛

3. [比较法] 讨论 p-级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^p}$ 的敛散性

   解：$p\le 0$ 时，容易得到 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^p}$ 发散。

   $p=1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}$ 是发散的

   $0\lt p \lt 1$，$n\gt n^p$，$\dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{n^p}$，可得原级数是发散的（“小”发散→“大”发散）

   $p\gt 1$

   $$\begin{align*} S_n&=\dfrac{1}{1^p}+\dfrac{1}{2^p}+\cdots +\dfrac{1}{n^p}\\ &\le 1+\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}\mathrm dx \end{align*}$$

   $\therefore \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^p}$ 收敛

   $\therefore p\le 1$ 级数发散，$p\gt 1$ 级数收敛

4. [比较法] 已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n(a_n\ge 0)$ 收敛，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt{a_n}}{n}$ 收敛

   解：p-级数取 $p=2$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ 收敛

   $$\underset{“小”}{\sqrt{a_n}\cdot \dfrac{1}{n}}\le \underset{“大”}{\dfrac{a_n+\frac{1}{n^2}}{2}}$$

   等式右边是收敛的，根据“大收敛→小收敛”原则得到左侧也收敛，得证。

5. [比较法] 讨论 $\dfrac{\ln n}{n^\alpha}$ 的敛散性

   解：

   • $\alpha =1$，$\dfrac{1}{n}\lt \dfrac{\ln n}{n}$，“小”发散→“大”发散
   • $\alpha \lt 1$，$\dfrac{1}{n}\lt \dfrac{1}{n^\alpha}\lt \dfrac{\ln n}{n^\alpha}$，“小”发散→“大”发散
   • $\alpha \lt 1$，令 $\alpha = \beta + r$（$\beta\gt 1$ 且 $r\gt 0$），$\dfrac{1}{n^\beta}\cdot \dfrac{\ln n}{n^r}\lt \dfrac{1}{n^\beta}$，“大”收敛→“小”收敛

   $\therefore$ 综上，$\alpha \le 1$ 发散，$\alpha \gt 1$ 收敛

6. [比较法-极限形式] 判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (e^{\frac{1}{n^2}}-\cos \frac{1}{n})$ 的敛散性

   解：$n\to \infty$ 时，有

   $$\begin{align*} &e^{\frac{1}{n^2}}-\cos \frac{1}{n}\\ &=[1+\dfrac{1}{n^2}+o(\dfrac{1}{n^2})]-[1-\dfrac{1}{2!}\times \dfrac{1}{n^2}+o(\dfrac{1}{n^2})]\\ &=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{1}{n^2}+o(\dfrac{1}{n^2}) \end{align*}$$

   从而 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{e^{\frac{1}{n^2}}-\cos \frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=\dfrac{3}{2}$

   $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ 收敛 $\Rightarrow$ 所给级数收敛

7. [根值法] 判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{2+(-1)^n}{3^n}$ 敛散性

   解：$\displaystyle \rho = \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\dfrac{2+(-1)^n}{3^n}}=\dfrac{1}{3}\lt 1$，收敛

8. [比值法] 讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{a^n}{(1+a)(1+a^2)\cdots(1+a^n)}$ 的敛散性

   解：$\displaystyle \rho =\lim_{n\to \infty}\dfrac{a}{1+a^{n+1}}$

   • $0\lt a\lt 1$ 时，$\rho =a\lt 1$ 收敛
   • $a=1$ 时，$\rho=a=\dfrac{1}{2}$ 收敛
   • $a\gt 1$ 时，$\rho =0\lt 1$ 收敛

   综上所述，此级数收敛

9. [根值法] $a\gt 0$，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n!(\dfrac{a}{n})^n$ 的敛散性

   解：$\displaystyle \rho = \lim_{n\to \infty}\dfrac{{(n+1)!(\frac{a}{n+1})^{n+1}}}{n!(\frac{a}{n})^n}=\dfrac{a}{e}$

   • $0\lt a \lt e$ 时，$\rho \lt 1$，发散
   • $a\gt e$ 时，$\rho \gt 1$，发散
   • $a=e$ 时，$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{(1+\frac{1}{n})^n}\gt 1$，$u_n\ge u_1=e$，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}u_n\ne 0$，发散

   综上，$a\ge e$ 级数发散，$0 \lt a \lt e$ 级数收敛

10. [积分法] 判断 $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n(\ln n)^p}$ 的敛散性

    解：取 $f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^p}$ 其与 $\displaystyle \int_2^{+\infty}\dfrac{1}{x(\ln x)^p} \mathrm dx$ 敛散性相同

    $p\le 0$ 时，$\dfrac{(\ln n)^{-p}}{n}\ge \dfrac{1}{n}$，右“小”发散推左“大”发散

    $$\begin{align*} &\int_2^{+\infty}\dfrac{1}{x(\ln x)^p} \mathrm dx\\ &=\lim_{u\to +\infty}\int_2^u \dfrac{1}{x(\ln x)^p}\mathrm dx \\ &=\lim_{u\to +\infty}\dfrac{1}{-p+1}(\ln x)^{-p+1}|_2^u\\ &=\lim_{u\to +\infty}\dfrac{(\ln u)^{-p+1}-(\ln 2)^{-p+1}}{1-p} \end{align*}$$

    $0\lt p \le 1$ 时，发散；$p\gt 1$ 时，收敛

    $\therefore$ 综上所述，$p\gt 1$ 时，所求级数收敛；$p\le 1$ 时，所求级数发散

11. [积分法] 判断 $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{\ln n}\sin \frac{1}{n}$ 的敛散性

    解：$\dfrac{1}{\ln n}\sin \dfrac{1}{n}\sim \dfrac{1}{\ln n}\cdot \dfrac{1}{n}(n\to +\infty)$

    右式发散，故左式也发散

定理#

1. [柯西审敛原理]

2. [Leibniz法] 设有 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n(n\ge 0,u_n \ge 0)$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^nu_n$ 满足：

   • $u_n\ge u_{n+1}(n\in N^*)$
   • $\displaystyle \lim_{n\to 0}u_n=0$

   则级数收敛，且 $S\le u_1$

3. 利用泰勒公式帮助判断敛散性

   $$原 - 新 \sim \alpha \cdot \dfrac{1}{n^p} \\ 收敛 \Leftarrow 收敛+收敛\\ 发散 \leftarrow 收敛+发散$$

例题#

1. 判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}$ 的敛散性

   $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots$，$\{u_n\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{n}=0$，故收敛

   • $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n}\dfrac{1}{n^p}(p\gt 0)$ 是收敛的
   • $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n}\sin\frac{1}{n}$ 是收敛的
   • $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n}\sin\frac{1}{n^p}(p\gt 0)$ 是收敛的

2. 判断 $\displaystyle \sum_{n=1}(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n+(-1)^{n+1}}}$ 的敛散性

   解：

   $$\begin{align*} (-1)^n \dfrac{1}{\sqrt{n+(-1)^{n+1}}}&=(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}\cdot \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+(-1)^{n+1}}}\\ &=(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}} \cdot [1+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}]^{-\frac{1}{2}}\\ &=(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}} \cdot [1-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}+o(\dfrac{1}{n})]\\ &=(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}+o(\dfrac{1}{n^\frac{3}{2}}) \end{align*}$$

   $(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n+(-1)^{n+1}}}-(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2n^\frac{3}{2}}+o(\dfrac{1}{n^\frac{3}{2}})$

   $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{(-1)^n\cdot \frac{1}{\sqrt{n+(-1)^{n+1}}}-(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^\frac{3}{2}}}=1$

   $\therefore \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left[(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n+(-1)^{n+1}}}-(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ 收敛

   $\because \displaystyle \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ 收敛

   $\therefore \displaystyle \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n+(-1)^{n+1}}}$ 收敛

定义#

1. 如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛：

   • $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛 $\Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛
   • $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散 $\Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 条件发散

2. $u_n^+=\dfrac{|u_n|+u_n}{2}=\begin{cases}u_n\quad u_n\gt 0\\0\quad u_n\le 0\end{cases}$

   $u_n^-=\dfrac{|u_n|-u_n}{2}=\begin{cases}-u_n\quad u_n\lt 0\\0\quad u_n\ge 0\end{cases}$

定理#

1. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛（$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 正项收敛）$\Rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛

   • 推论：$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散

2. 如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n^+$、$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n^-$ 收敛；如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$ 条件收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n^+$、$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n^-$ 发散于 $+\infty$

3. 绝对收敛的级数满足交换律

4. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n$、$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n$ 绝对收敛于 $s$、$\delta$，则其柯西乘积绝对收敛于 $s\cdot \delta$

   $$\begin{align*} s=u_1v_1+(u_1v_2+u_2v_1)+(u_1v_3+u_2v_2+u_3v_1)+\cdots \end{align*}$$

例题#

1. 判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{2^{n^2}}{n!}$ 的敛散性

   解：$\displaystyle \rho=\lim_{n\to \infty}|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}|=\lim_{n\to \infty}\dfrac{2^{2n+1}}{n+1}=+\infty \gt 1$，发散

2. 讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{r^n}{n^p}$ 敛散性

   解：$\displaystyle \rho=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\dfrac{r^n}{n^p}}=|r|$

   $|r|\lt 1\Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left|\dfrac{r^n}{n^p}\right|$ 收敛 $\Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{r^n}{n^p}$ 绝对收敛

   $|r|\gt 1\Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left|\dfrac{r^n}{n^p}\right|$ 发散 $\Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{r^n}{n^p}$ 发散

   $|r|=1$，如果 $r=1$，则原级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^p}$，$p\gt 1$ 绝对收敛，$p\le 1$ 发散；如果 $r=-1$，则原级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{1}{n^p}$，$p\gt 0$ 收敛（其中 $p\gt 1$ 绝对收敛，$0\lt p\le 1$ 条件收敛），$p\le 0$ 发散