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7.1 常数项级数的概念与性质
2025-12-03
高等数学
数学

§\S7.1 常数项级数的概念与性质#

引例：数列 12,122,123,⋯12n,⋯\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2^2},\dfrac{1}{2^3},\cdots \dfrac{1}{2^n},\cdots，lim⁡n→∞12n=0\displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2^n}=0

构造新数列

S1=12S2=12+122S3=12+122+123⋮Sn=12+122+123+⋯+12nlim⁡n→∞Sn=1(=12+122+123+⋯+12n+⋯)\begin{align*} S_1&=\dfrac{1}{2}\\ S_2&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}\\ S_3&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}\\ \vdots\\ S_n&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots +\dfrac{1}{2^n}\\ \lim_{n\to \infty}S_n&=1(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots +\dfrac{1}{2^n}{\color{Red} +}{\color{Red} \cdots}) \end{align*}

图形化示意

一、常数项级数的概念#

  1. 定义：设有数列 {un}\{u_n\}，将 u1+u2+⋯+un+⋯(∑n=1∞un)u_1+u_2+\cdots +u_n {\color{Red} +} {\color{Red} \cdots} \quad(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n) 称为常数项无穷级数，简称级数。
    • 其中，unu_n 称为级数的一般项或通项
    • 称 sn=u1+u2+⋯+uns_n=u_1+u_2+\cdots +u_n 为级数的部分和
  2. 构造部分和数列 {sn}\{s_n\}，求 lim⁡u→+∞sn\displaystyle \lim_{u\to +\infty}s_n：
    • lim⁡u→∞sn=s\displaystyle \lim_{u\to \infty}s_n=s，即 {sn}\{s_n\} 收敛于 ss，则称 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛，且收敛于 ss
      • 此时有 s=∑n=1∞un=u1+u2+⋯+un+⋯s=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\cdots +u_n {\color{Red} +} {\color{Red} \cdots}，rn=s−sn→0(n→∞)r_n=s-s_n\rightarrow 0(n\to \infty)（余项）
    • lim⁡u→∞sn\displaystyle \lim_{u\to \infty}s_n 不存在，即 {sn}\{s_n\} 发散，则称 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散

例题#

  1. 求 ∑n=1∞12n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{2^n}

    解：

    Sn=12+⋯+12n=12[1−(12)n]1−12=1−(12)n→1(n→∞)\begin{align*} S_n&=\dfrac{1}{2}+\cdots +\dfrac{1}{2^n}\\ &=\dfrac{\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2})^n]}{1-\frac{1}{2}}\\ &=1-(\dfrac{1}{2})^n\to 1(n\to \infty) \end{align*}

    ∴\therefore 原式 =1=1

  2. 判断 ∑n=1∞1n(n+1)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n(n+1)} 的敛散性

    解：此级数收敛，原因如下

    Sn=11×2+22×3+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1→1(n→∞)\begin{align*} S_n&=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{2}{2\times 3}+\cdots +\dfrac{1}{n(n+1)}\\ &=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\\ &=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\to 1(n\to \infty) \end{align*}

    即 {Sn}\{S_n\} 收敛于 1，故所求级数收敛

  3. 证明 ∑n=1∞1n2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2} 收敛

    证：1n2<1n(n−1)=1n−1−1n\dfrac{1}{n^2}\lt \dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}

    Sn=1+122+132+⋯+1n2<1+(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)=2−1n<2(上界)\begin{align*} S_n&=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\\ & \lt 1+(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\cdots+(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n})\\ &=2-\dfrac{1}{n}\lt 2(上界) \end{align*}

    ∴∑n=1∞1n2\therefore \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} 收敛

  4. 数列 {un}\{u_n\} 通项为 un=(−1)n+1u_n=(-1)^{n+1}，判断 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n 敛散性

    解：S2n=0S_{2n}=0，lim⁡n→∞S2n=0\displaystyle \lim_{n\to \infty}S_{2n}=0；S2n+1=1S_{2n+1}=1，lim⁡n→∞S2n+1=1\displaystyle \lim_{n\to \infty}S_{2n+1}=1

    {Sn}\{S_n\} 发散 ⇒\Rightarrow 级数发散

  5. 讨论等比级数

    ∑n=0∞qn=1+q+q2+⋯+qn+⋯\sum_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+\cdots +q^n+\cdots

    的敛散性

    解：

    • q=1q=1 时，Sn=nS_n=n，发散；q=−1q=-1 时，为例4结果，发散
    • ∣q∣≠1|q|\ne 1 时，Sn=1−qn1−qS_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}
      • 当 ∣q∣>1|q| \gt 1 时，qn→∞(n→∞)q^n \to \infty(n\to \infty)，Sn→∞(n→∞)S_n\to \infty(n\to \infty)，发散
      • 当 ∣q∣<1|q| \lt 1 时，qn→0(n→∞)q^n \to 0(n\to \infty)，Sn→11−q(n→∞)S_n\to \dfrac{1}{1-q}(n\to \infty)，收敛于 11−q\dfrac{1}{1-q}

    综上，原级数 {发散，∣q∣≥1收敛于11−q，∣q∣<1\begin{cases}发散，|q|\ge 1\\ 收敛于\dfrac{1}{1-q}，|q|\lt 1\end{cases}

    推论：[等比级数求和公式]

    a+aq+⋯+aqn+⋯=a1−qa+aq+\cdots +aq^n+\cdots =\dfrac{a}{1-q}

    其中 aa 为首项，qq 为公比

    级数知识解释 0.9˙=10.\dot{9}=1

    \begin{align*} 0.\dot{9}&=0.9+0.09+0.009+\cdots +0.9\times 0.1^{n-1}+\cdots \quad (是首项为0.9，公比为0.1的等比数列)\ &=\dfrac{0.9}{1-0.1}=1 \end{align*}

二、收敛级数的基本性质#

  1. ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛于 s⇒∑n=1∞kuns\Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^\infty ku_n 收敛于 k⋅sk\cdot s（k为常数）

  2. ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛于 ss，∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n 收敛于 δ⇒∑n=1∞(un+vn)\delta \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_n+v_n) 收敛于 s+δs+\delta，∑n=1∞(kun+lvn)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (ku_n+lv_n) 收敛于 ks+lδks+l\delta

    • 推论1：∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛，∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n 发散 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞(un+vn)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_n+v_n) 发散
    • 推论2：∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n 发散，∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty v_n 发散 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞(un+vn)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_n+v_n) 无法确定

  3. 在级数中删去、添加或改变有限项不改变收敛性，但级数的和会改变

  4. ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛，则对其中任意添加括号后产生的新级数也收敛

    • 推论：加括号后产生的新级数发散，则原级数发散。

  5. 级数收敛的必要条件

    ∑n=1∞un收敛⇒lim⁡n→∞un=0\sum_{n=1}^\infty u_n收敛\Rightarrow \lim_{n\to \infty}u_n=0

    • 推论

      lim⁡n→∞un≠0⇒∑n=1∞un发散\lim_{n\to \infty}u_n\ne 0\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n 发散

例题#

证明

12−1−12+1+13−1−13+1+⋯+1n−1−1n+1+⋯\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}+\cdots

发散

证：令 un=1n−1−1n+1=2n−1u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}=\dfrac{2}{n-1}

∑n=2∞2n−1=∑n=1∞2n→\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \dfrac{2}{n-1}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{2}{n}\rightarrow 证明 ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}（调和级数）发散

反证法：设 ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} 收敛于 ss，则 {sn}\{s_n\} 收敛于 ss，{s2n}\{s_{2n}\} 收敛于 ss

S2n−Sn=1n+1+1n+2+⋯+1n+n≥1n+n+1n+n+⋯+1n+n(n项)=12\begin{align*} S_{2n}-S_n&=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+n}\\ &\ge \dfrac{1}{n+n}+\dfrac{1}{n+n}+\cdots+\dfrac{1}{n+n}(n项)=\dfrac{1}{2} \end{align*}

lim⁡n→∞(S2n−Sn)≥12\displaystyle \lim_{n\to \infty}(S_{2n}-S_n)\ge \dfrac{1}{2}，与假设矛盾

∴∑n=1∞1n\therefore \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} 发散，从而原级数发散

7.1 常数项级数的概念与性质
https://gitee.com/jason_ren/advanced-math-note
作者
Jason Ren
发布于
2025-12-03
许可协议
CC BY-SA 4.0

部分信息可能已经过时

6.9 欧拉方程
7.2 常数项级数的审敛法
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