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6.9 欧拉方程

2025-12-03

数学

$\S$ 6.9 欧拉方程(Euler Equation)#

x^2y''+pxy'+qy=f(x)\quad (p,q为常数)

↓作 $x=e^t$ 变换

\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}+p\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}+qy=f(e^t)

是 $y$ 关于 $t$ 的常系数线性微分方程

r^2-r+pr+q=0

令 $D=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}$ ，方程可化为

[D(D-1)+pD+q]y=f(e^t)

最后再使用 $t=\ln x$ 反代回原式即可得到方程的解

n阶欧拉方程#

x^{n}y^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)

令 $x=e^t$

[D(D-1)\cdots(D-n+1)+p_1D(D-1)\cdots(D-n+2)+\cdots+D]y=f(e^x)

$x^2y''+xy'-y=3x^2$

解：令 $x=e^t$

\begin{align*} [D(D-1)+D-1]y&=3e^{2t}\\ (D^2-1)y&=3e^{2t}\\ \dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-y&=3e^{2t}\rightarrow y_齐=C_1e^t+C_2e^{-t} \end{align*}

$\lambda=2$ 不是特征根，令 $y^*=ae^{2t}$ ，解得 $a=1$

$\therefore y=C_1e^{t}+C_2e^{-t}+e^{2t}=C_1x+C_2\dfrac{1}{x}+x^2$

6.9 欧拉方程

作者

Jason Ren

发布于

2025-12-03

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