例题#

1. $y''-7y'+12y=x$

   解：特征方程 $r^2-7r+12=0$，$r_1=3$，$r_2=4$

   齐次通解 $\hat{y}=C_1e^{3x}+C_2e^{4x}$

   $\lambda=0$ 不是特征根，设非齐次特解为 $y^*=e^{0\cdot x}x^0\cdot(ax+b)=ax+b$

   $$0-7a+12(ax+b)=x \Rightarrow \begin{cases} a=\dfrac{1}{12}\\ b=\dfrac{7}{144} \end{cases}$$

   $\therefore y=C_1e^{3x}+C_2e^{4x}+\dfrac{1}{12}x+\dfrac{7}{144}$

2. $y''-5y'+6y=xe^{2x}$

   解：$r^2-5r+6=0$，$r_1=2$，$r_2=3$

   齐次通解 $\hat{y}=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$

   $\lambda=2$ 是单根，设 $y^*=e^{2x}x^1(ax+b)=e^{2x}(ax^2+bx)$

   $(y^*)''=e^{2x}(4ax^2+4bx+4ax+2b+4ax+2b+2a)$

   • $x^2$ 系数：$4a-5\cdot 2a+6a=0$，自动成立
   • $x^1$ 系数：$4b+8a-5(2b+2a)+6b=1$
   • $x^0$ 系数：$4b+2a-5b+6\cdot 0=0$

   解得 $a=-\dfrac{1}{2}$，$b=-1$

   $\therefore y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-e^{2x}(-\dfrac{1}{2}x^2-x)$

3. $y''+4y'+4y=e^{-2x}$

   解：$r^2+4r+4=0$，$r_1=r_2=-2$

   $\hat{y}=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$

   $\lambda=-2$ 是重根，设 $y^*=e^{-2x}x^2\cdot a$

   $(y^*)''=e^{-2x}(4ax^2-8ax+2a)$

   • $x^2$ 系数：自动为0
   • $x^1$ 系数：$-8a+8a+4\cdot 0=0$，自动成立
   • $x^0$ 系数：$2a=1$

   解得 $a=\dfrac{1}{2}$

   $\therefore y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}+\dfrac{1}{2}x^2e^{-2x}$

例题#

1. $y''+y=4\sin x$

   解：$r^2+1=0$，$r_1=i$，$r_2=-i$

   $\hat{y}=C_1\cos x+C_2\sin x$，$\lambda =0+i=i$ 是特征根

   令 $y^*=x(a\cos x+b\sin x)$

   $(y^*)''=2(-a\sin x+b\cos x)+(-a\cos x-b\sin x)$

   $a=-2$，$b=0$

   $\therefore y=C_1\cos x+C_2\sin x-2x \cos x$

2. $y''+y=3\sin 2x$

   解：$r^2+1=0$，$r_1=i$，$r_2=-i$

   $\lambda=0$ 不是特征根，设 $y^*=a\cos 2x+b\sin 2x$

   $(y^*)''=-4a\cos 2x-4b\sin 2x$

   $$\begin{cases} -3a=0\\ -3b=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=0\\ b=-1 \end{cases}$$

   $\therefore y=C_1\cos x+C_2\sin x-\sin 2x$

3. $y''+y=e^x\sin x$

   解：$r^2+1=0$，$r_1=i$，$r_2=-i$

   $\lambda=1+i$ 不是特征根

   $y^*=e^x\cdot x^0(a\cos x+b\sin x)=e^x(a\cos x+b\sin x)$

   $(y^*)''=e^x(-2a\sin x+2b\cos x)$

   $$\begin{cases} b-2a=1\\ a+2b=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=-\dfrac{2}{5}\\ b=\dfrac{1}{5} \end{cases}$$

   $\therefore y=C_1\cos x+C_2\sin x+e^x(-\dfrac{2}{5}\cos x+\dfrac{1}{5}\sin x)$

4. 已知 $y''+ay'+by=Ce^x$，$y^*=e^{-x}(1+xe^{2x})$，求该方程的通解

   • 填空解法：$y^*=e^x\cdot x^k\cdot a$，令1和-1是两个单根

     $(r+1)(r-1)=r^2-1=0$，$a=0$，$b=-1$

     $y''-y=Ce^x$

     $2e^x+xe^x-xe^x=Ce^x$，$C=2$

     $\therefore y=C_1e^x+C_2e^{-x}+xe^x$ [注意 $y^*$ 的形式]

   • 大题解法：将 $y^*$ 代回原方程，比较系数确定a、b、c

5. $y''-2y'+2y=x^2+2e^x\cos^2{\dfrac{x}{2}}$

   • 利用叠加原理，$y^*=y_1^*(f_1(x)=0的特解)+y_2^*(f_2(x)=0的特解)$

   解：$r_1=1+i$，$r_2=1-i$，$\hat{y}=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)$

   注意等式右方可以拆成 $x^2+e^x\cos x+e^x$

   $$\begin{align*} y_1^*=e^{0x}\cdot x^0(ax^2+bx+c)&\rightarrow y_1^*=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\quad(f(x)=x^2)\\ y_2^*=e^x\cdot x^1(a'\cos x+b'\sin x)&\rightarrow y_2^*=\dfrac{x}{2}e^x\sin x\quad(f(x)=e^x\cos x)\\ y_3^*=e^x\cdot x^0 \cdot a''&\rightarrow y_3^*=e^x \quad(f(x)=e^x) \end{align*}$$

   $\therefore y=\hat{y}+y^*=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)+\dfrac{1}{2}(x+1)^2+e^x+\dfrac{x}{2}e^x\sin x$

例题#

$y^{(4)}+y''=x+e^x+3\sin x$

解：$r^4+r^2=r^2(r^2+1)=0$，$r_1=r_2=0$，$r_3=i$，$r_4=-i$

$\hat{y}=C_1+C_2x+C_3\cos x+C_4\sin x$

$\therefore y=\hat{y}+y^*=C_1+C_2x+C_3\cos x+C_4\sin x+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{2}e^x+\dfrac{3}{2}x\cos x$