一、特征方程法#

设 $y=e^{rx}$，$L=\dfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}+p\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}+q$。

$e^{rx}(r^2+pr+q)=0\Leftrightarrow r^2+pr+q=0$，此方程为特征方程

1. $\Delta=p^2-4q\gt 0$，有两个不同实根$r_1$，$r_2$
   • $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
2. $\Delta=p^2-4q=0$，有两个相同实根$r_1=r_2=-\dfrac{p}{2}$
   • $\displaystyle y_2=y_1\int \dfrac{1}{y_1^2}e^{-\int p\mathrm dx}\mathrm dx=xe^{r_1x}\quad (y_1=e^{r_1x})$
   • $y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x}$
3. $\Delta=p^2-4q\le 0$，一对共轭复根$r_1=\alpha+i\beta$，$r_2=\alpha-i\beta$（$\alpha$，$\beta$为实数）

   利用欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$

   • $y=C_1e^{\alpha x}\cos \beta x+C_2e^{\alpha x}\sin \beta x$

总结：求 $y''+py'+qy=0$ 的根，其中 $p,q$ 为常数

1. $r^2+pr+q=0$，求根 $r_1,r_2$

2. a. $r_1\ne r_2\in R$，$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

   b. $r_1=r_2 \in R$，$y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x}$

   c. $r_1=\alpha+i\beta$，$r_2=\alpha-i\beta$，$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

二、n 阶常系数齐次微分方程#

特征方程 $r^n+p_1r^{n-1}+\cdots+p_{n-1}r+p_n=0$

• $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 两两不同，$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2}x+\cdots+C_ne^{r_nx}$

• $k$ 重实根每一项为 $r_m$，$e^{r_mx}$、$xe^{r_mx}$、… $x^{k-1}e^{r_mx}$

• 共轭复根 $b_1=\alpha+i\beta$，$b_2=\alpha-i\beta$

三、例题#

1. 解方程

   • $y''-2y-3y=0$

     $r^2-2r-3=0$，$r_1=-1$，$r_2=3$

     $\therefore y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}$

   • $y''+4y'+4y=0$

     $y^2+4r+4=0$，$r_1=r_2=-2$

     $\therefore y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$

   • $y''+a^2y=0 \quad(a\gt 0)$

     $r^2+a^2=0$，$r_1=ai$，$r_2=-ai$

     $\therefore y=C_1\cos ax+C_2\sin ax$

   • $y''+2y'+5y=0$

     $r^2+2r+5=0$，$r_1=-1+2i$，$r_2=-1-2i$

     $\therefore y=e^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$

   • $y^{(4)}+2y''+y=0$

     $r^4+2r^2+1=0$，$(r^2+1)^2=0$，$r_{1,2}=i$，$r_{3,4}=-i$

     $\therefore y=C_1\cos x+C_2x\cos x+C_3\sin x+C_4x\sin x$

   • $y^{(4)}-2y'''+5y''=0$

     $r^4-2r^3+5r^2=0$，$r_1=r_2=0$，$r_3=1+2i$，$r_4=1-2i$

     $\therefore y=C_1+C_2x+e^x(C_3\cos 2x+C_4\sin 2x)$

2. 已知 -1 和 i 分别是某微分方程的单根和二重根，求一个最低阶常系数齐次线性微分方程

   解：$(r+1)(r^2+1)^2=0$，$r^5+r^4+2r^3+2r^2+r+1=0$

   $$y^{(5)}+y^{(4)}+2y^{(3)}+2y''+y'+y=0$$

3. 求一个以 $y_1=e^x$，$y_2=2xe^x$，$y_3=\cos 2x$，$y_4=3\sin 2x$ 为特解的四阶常系数齐次微分方程，并求通解

   解：

   $$y=C_1e^x+C_2xe^x+C_3\cos 2x+C_4\sin 2x$$

   $(r-1)^2(r^2+4)=0$，$r_1=r_2=1$，$r_3=2i$，$r_4=-2i$

   $$y^{(4)}-2y^{(3)}+5y''-8y'+4y=0$$