例题#

1. $y_1(x)=|x|$，$y_2(x)=x$：

   • 在 $(-\infty, 0)$ 上线性相关
   • 在 $(0, +\infty)$ 上线性相关
   • 在 $(-\infty, +\infty)$ 上线性无关

2. 证明 $\cos x$，$\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上线性无关

   证：[法1]设 $\forall x\in R, k_1\cos x+k_2\sin x=0$

   • $x=0$，$k_1+0\cdot k_2=0$
   • $x=\dfrac{\pi}{2}$，$0\cdot k_1+k_2=0$

   以上两式联立得 $k_1=0=k_2$，得证

   ---

   [法2]

   $$\begin{align*} \begin{cases} -k_1\sin x+k_2\cos x=0\\ -k_1\cos x+k_2\sin x=0 \end{cases} \end{align*}$$ $$\begin{align*} D=\left | \begin{matrix} \cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\\ \end{matrix} \right |=1 \ne 0\\ \Rightarrow k_1=k_2=0，得证 \end{align*}$$

3. 证明 $1$，$x$，$x^2$在 $R$ 上线性无关

   证：

   $$\begin{align*} \begin{cases} k_1\cdot 1+k_2\cdot x+k_3\cdot x^2=0\\ k_1\cdot 0+k_2\cdot 1+k_3\cdot 2x=0\\ k_1\cdot 0+k_2\cdot 0+k_3\cdot 2=0 \end{cases} \end{align*}$$ $$\begin{align*} D=\left | \begin{matrix} 1 & x & x^2\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right |=2 \ne 0\\ \Rightarrow k_1=k_2=k_3=0，得证 \end{align*}$$

定理#

1. 对于 $y_1(x)\cdots y_n(x)$，若有

则称 $y_1(x),y_2(x),\cdots y_n(x)$ 线性无关

2. [通解结构定理] $y_1, \cdots , y_n$ 是 $L[y]=0$ 的 $n$ 个线性无关的解，且 $y^*$ 是 $L[y]=f(x)$ 的一个特解，则有：

• $L[y]=0$ 的通解为 $y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots + C_ny_n$
• $L[y]=f(x)$ 的通解为 $y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots +C_ny_n+y^*$

例题#

1. 求 $x^2y''+xy'-y=0$ 的通解

   解：$y_1=x$，$p(x)=\dfrac{1}{x}$

   $$\begin{align*} y_2=y_1\int \dfrac{1}{y_1^2}e^{-\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx&=y_1\int \dfrac{1}{y_1^2}e^{-\int \frac{1}{x}\mathrm dx}\mathrm dx\\ &=x\int \dfrac{1}{x^3}\mathrm dx\\ &=x(\dfrac{1}{-3+1}x^{-2})\\ &=-\dfrac{1}{2x} \end{align*}$$

   $\therefore y=C_1x+C_2(-\dfrac{1}{2x})$

2. 求 $(1-x)y''+xy'-y=1$ 的通解

   a. 先求 $(1-x)y''+xy'-y=0$ 的通解

   $y_1=x$

   $$\begin{align*} y_2&=x\int \dfrac{1}{x^2}e^{-\int \frac{x}{1-x}\mathrm dx}\mathrm dx\\ &=e^x+C \end{align*}$$

   $\therefore y=C_1x+C_2e^x$

   b. 令 $y=C_1(x)x+C_2(x)e^x$，则 $y'=C_1'(x)x+C_1(x)+C_2'(x)e^x+C_2(x)e^x$；令 $C_1'(x)\cdot x+C_2'(x)e^x=0$，则 $y''=C_1'(x)+C_2'(x)e^x+C_2(x)e^x$。代入得

   $$\begin{align*} C_1'(x)+C_2'(x)e^x=\dfrac{1}{1-x} \tag{1} \end{align*}$$

   c. $\begin{cases}C_1'(x)\cdot x+C_2'(x)e^x=0\\ C_1'(x)\cdot 1+C_2'(x)e^x=\dfrac{1}{1-x}\end{cases}$

   求出 $C_1'(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$，$C_2'(x)=-\dfrac{x}{(1-x)^2e^x}$

   $\therefore C_1(x)=\dfrac{1}{1-x}+D_1$，$C_2(x)=-\dfrac{e^{-x}}{1-x}+D_2$

   d.

   $$\begin{align*} y&=C_1(x)\cdot x+C_2(x)\cdot e^x\\ &=(\dfrac{1}{1-x}+D_1)x+(-\dfrac{e^{-x}}{1-x}+D_2)e^x \end{align*}$$