一、常数变易法#

1. 求齐次方程的通解

2. 令 $y=c(x)\cdot y_1$，并代入原微分方程

3. 回代，得到非齐次方程通解

二、例题#

1. 解方程 $(x+1)\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-ny=e^x(x+1)^{n+1}$，其中 $n$ 是一个常数

解：先求齐次方程通解，$(x+1)\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=ny$，$\dfrac{\mathrm dy}{y}=\dfrac{n}{x+1}\mathrm dx$，$y=C(x+1)^n$

再令 $y=C(x)(x+1)^n$

$\therefore y=(e^x+C)(x+1)^n$

2. 解伯努利微分方程(Bernoulli differential equation) $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+p(x)\cdot y=Q(x)y^n\quad (n \ne 0,1)$

解：两边除以 $y^n$

令 $z=y^{1-n}$，则 $\dfrac{1}{1-n}\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}+p(x)z=Q(x)$，回代：

3. 解方程 $(1+y^2)\mathrm dx+(x-\arctan y)\mathrm dy=0$

解：

$\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=-\dfrac{x}{1+y^2}+\arctan y \mathrm d(\arctan y)$

令 $t=\arctan y$，则 $\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+x=t$，解得 $x=t-1+Ce^t$

$\therefore x=\arctan y-1+Ce^{\arctan y}$

4. 解方程 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{x^4+y^3}{xy^2}(=\dfrac{1}{x}y+x^3y^{-2})$

解：$p(x)=-\dfrac{1}{x}, Q(x)=x^3, 令 z=y^{1-(-2)}=y^3$

原式转化为 \dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}+3\cdot (-\dfrac{1}{x})\cdot z=3x^3 \tag{1}

令 $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=3\dfrac{z}{x}$ 得 $z=Cx^3$

令 $z=C(x)\cdot x^3$，代回 1 得

$\therefore y=x(3x+C)^{\frac{1}{3}}$

5. 解方程 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{e^y+3x}{x^2}$

解：

令 $z=e^{-y}$，$\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=-\dfrac{1+3xz}{x^2}$

令 $xz=u$

代回得 $x=C_1(4xe^{-y}+1)^{\frac{1}{4}}$