一、齐次方程#

形如 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(\dfrac{y}{x})$ 的方程称为齐次方程

令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=xu$，$\mathrm dy=u \mathrm dx+x \mathrm du$

$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=u+x\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}=f(u)$

$\dfrac{1}{f(u)-u}\mathrm du=\dfrac{1}{x}\mathrm dx$

两边积分，通过分离变量法后回代得通解

别忘讨论 $f(u)=u$ 是否有解

二、可化为齐次方程的方程#

形如 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}$ 或 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(\dfrac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1})$ 的方程

令 $\begin{cases}x=X+h,\mathrm dx=\mathrm dX\\y=Y+k,\mathrm dy=\mathrm dY\end{cases}$

令 $\begin{cases}ah+bk+C=0\\a_1h+b_1k+C_1=0\end{cases}$，找到合适的h,k使得 $\dfrac{\mathrm dX}{\mathrm dY}=\dfrac{aX+bY}{a_1X+b_1}Y$

1. $\left|\begin{array}{cccc}a&b\\a_1&b_1\end{array}\right|\ne 0$，由克拉默法则（Cramer’s Rule），可求出唯一h、k，再以 $x-h=X$，$y-k=Y$得出通解。
2. $\left|\begin{array}{cccc}a&b\\a_1&b_1\end{array}\right|= 0$

   • 若 $b_1\ne 0$，$\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}=\lambda$

     $$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\lambda(a_1x+b_1y)+C}{a_1x+b_1y+C_1} \overset{u=a_1x+b_1y}{\Rightarrow} \dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}=a_1+b_1\dfrac{\lambda u+C}{u+C_1}$$

   • 若 $b_1=0$：

     1. $a_1=0$，$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{ax+by+C}{C_1}=a_2x+b_2y+C_2$，令 $u=a_2x+b_2y+C_2$，$\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}=a_2+b_2u$
     2. $b=0$，$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{ax+C}{a_1x+C_1}$