一、分离变量法#

形如 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x)\cdot g(y)$

可以像这样将带x的项移到等式一边，把带y的项移到等式另一边：

$\dfrac{1}{g(y)}\mathrm dy=f(x)\mathrm dx$

两边分别对y和x积分得 $\int \dfrac{1}{g(y)}\mathrm dy=\int f(x)\mathrm dx$

$\phi (y)=\psi (x)+C$ （隐式解或通积分）

两边同时积分，在一侧加积分常数 C 即可

二、例题#

1. $y'=2xy$

解：$y\ne0$ 时，$\dfrac{\mathrm dy}{y}=2x \mathrm dx$

两边积分 $\ln |y|=x^2+C$

$|y|=e^{x^2+C}$

$y=\pm C'e^{x^2}=C''e^{x^2}(C^{(n)}\in R且C''\ne 0)$

$y=0$ 时，其为解，$y=\hat{C}e^{x^2}(\hat{C}\in R)$

2. $y'=\dfrac{y}{x}$

解：$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{y}{x} \Rightarrow \dfrac{\mathrm dy}{y}=\dfrac{\mathrm dx}{x}$

两边积分

可得 $y=\hat{C_2}x(\hat{C}\in R)$

3. $y \mathrm dy+x \mathrm dx=0$

$\dfrac{1}{2}y^2+\dfrac{1}{2}x^2=\dfrac{C}{2}$

通解：$x^2+y^2=C(C\gt 0)$

4. $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{1}{x^2}f(xy)$

解：令 $u=xy$

$\mathrm du=y\mathrm dx+x \mathrm dy$

$\displaystyle \int\dfrac{\mathrm du}{u+f(u)}=\int \dfrac{1}{x} \mathrm dx$

$\displaystyle \int\dfrac{\mathrm d(xy)}{xy+f(xy)}=\ln x+C$