引例#

曲线过 $(x_0,y_0)$ ，切线斜率为 $g(x)$ ，求曲线方程

解：设 $y=f(x)$

$f'(x)=g(x),f=\varphi(x)+y_0-\varphi(x_0)$

定义#

1. 含有未知量、未知函数及其导数（或微分）的方程称为微分方程。

例如 $y'=2x,y''+y'=2x,y'+\sin y=e^x$

• 常微分方程：未知量只有一个
• 偏微分方程：未知量有多个
• 阶数：未知函数导数的阶数

记 $n$ 阶常微分方程为 $F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$ [一般形式/隐式表达]或 $y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$ [显式表达]

2. 未知函数及其导数都是线性的，称为 线性微分方程；否则，称为非线性微分方程
3. $F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$。若 $y=f(x)$，$F(x,f(x),f'(x),\cdots,f^{(n)}(x))\equiv 0$，则 $y=f(x)$ 是解

• 通解：常数相互独立且等于阶数
• 特解：不含任意常数

例题#

验证 $y=C_1\cos x+C_2\sin x$ 是 $y''+y'=0$ 的通解，并求 $y(\dfrac{\pi}{4})=1$，$y'(\dfrac{\pi}{4})$ 的通解

解：$y''=-C_1\cos x-C_2\cos x$ 代入得 $0=0$ ，$C_1,C_2$ 相互独立

$\therefore y=C_1\cos x+C_2\sin x$ 是 $y''+y'=0$ 的通解

$y=\sqrt{2}\cos x$