469 字
2 分钟
5.4 定积分的应用
2025-12-03
高等数学
数学

§\S5.4 定积分的应用#

一、定积分的微元法#

定义：

∫abf(x)dx=lim⁡x→0∑i=1nf(ξi)Δxi\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{x\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i

  1. 分割
  2. 代替
  3. 求和
  4. 取极限
A=∫abf(x)dxA(x)=∫axf(t)dtdA(x)=f(x)dxdA=f(x)dx\begin{align*} A&=\int_a^bf(x)\mathrm dx\\ A(x)&=\int_a^xf(t)\mathrm dt\\ \mathrm dA(x)&=f(x)\mathrm dx\\ \mathrm dA&=f(x)\mathrm dx \end{align*}ΔAi曲≈f(ξi)Δxi直\underset{曲}{\Delta A_i}\approx \underset{直}{f(\xi_i)\Delta x_i}

二、几何应用#

1. 面积#

  1. 直角坐标下
A=∫abf(x)dxA=\int_a^bf(x)\mathrm dx

A=∫ab∣f(x)∣dxA=\int_a^b|f(x)|\mathrm dx

A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dxA=\int_a^b|f(x)-g(x)|\mathrm dx

A=∫cdg(y)dyA=\int_c^dg(y)\mathrm dy

例：求 y2=2xy^2=2x 与 y=x−4y=x-4 所围面积

解：

{y2=2xy=x−4⇒{x=2y=−2或{x=8y=4\begin{cases} y^2=2x\\ y=x-4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2\\ y=-2 \end{cases} 或 \begin{cases} x=8\\ y=4 \end{cases}

法1：

A=∫08[f(x)−g(x)]dx=∫02[2x−(−2x)]dx+∫28[2x−(x−4)]dx=432x32∣02+(4x+232x32−12x2)∣28=18\begin{align*} A&=\int_0^8[f(x)-g(x)]\mathrm dx\\ &=\int_0^2[\sqrt{2x}-(-\sqrt{2x})]\mathrm dx+\int_2^8[\sqrt{2x}-(x-4)]\mathrm dx\\ &=\dfrac{4}{3}\sqrt{2}x^{\frac{3}{2}}|_0^2+(4x+\dfrac{2}{3}\sqrt{2}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{2}x^2)|_2^8=18 \end{align*}

法2： g(x)={−2xx∈(0,2)x−4x∈(2,8)g(x)=\begin{cases}-\sqrt{2x} \quad x\in (0,2)\\x-4\quad x\in(2,8)\end{cases}

A=∫−24[(y+4)−y22]dy=(12y2+4y−16y3)∣−24=18\begin{align*} A&=\int_{-2}^4[(y+4)-\dfrac{y^2}{2}]\mathrm dy\\ &=(\dfrac{1}{2}y^2+4y-\dfrac{1}{6}y^3)|_{-2}^4\\ &=18 \end{align*}
  1. 极坐标下
ΔAi≈12ϕ2(ξi)ΔθidA=12ϕ2(θ)dθA=∫αβ12ϕ2(θ)dθ\begin{align*} \Delta A_i&\approx \dfrac{1}{2}\phi^2(\xi_i)\Delta \theta_i\\ \mathrm dA&=\dfrac{1}{2}\phi^2(\theta)\mathrm d\theta\\ A&=\int_\alpha^\beta \dfrac{1}{2}\phi^2(\theta)\mathrm d\theta \end{align*}

例：

  1. 求 r2=a2cos⁡2θr^2=a^2\cos 2\theta 所围面积
A=4∫0π412ϕ2(θ)dθ=2∫0π4a2cos⁡2θdθ=2a2×12sin⁡2θ∣0π4=a2\begin{align*} A&=4\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{2}\phi^2(\theta)\mathrm d\theta\\ &=2\int_0^{\frac{\pi}{4}}a^2\cos 2\theta \mathrm d\theta\\ &=2a^2\times \dfrac{1}{2}\sin 2\theta|_0^{\frac{\pi}{4}}\\ &=a^2 \end{align*}
  1. 求 ρ=2cos⁡θ\rho=2\cos \theta 所围面积
A=2∫0π2124cos⁡2θdθ=2⋅(θ+12sin⁡2θ)∣0π2=π\begin{align*} A&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{2}4\cos^2\theta \mathrm d\theta\\ &=2\cdot (\theta+\dfrac{1}{2}\sin 2\theta)|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\pi \end{align*}
  1. 参数形式
{x=ϕ(t)y=ψ(t),α≤r≤β\begin{align*} \begin{cases} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases} ,\alpha \le r \le \beta \end{align*}

则有

A=∫αβ∣ϕ(t)ψ′(t)∣dt,x:a→b,t:α→βA=\int_\alpha^\beta|\phi(t)\psi'(t)|\mathrm dt, x:a\to b, t:\alpha \to \beta

例：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a\gt 0,b\gt 0) 所围面积

解：原式参数方程表示如下

{x=acos⁡ty=bsin⁡t,t∈[0,2π]\begin{align*} \begin{cases} x=a\cos t\\ y=b\sin t \end{cases} , t \in [0,2\pi] \end{align*}

A=4∫0ab1−x2a2dx=4ba∫0aa2−x2dx=4ba∫π20−asin⁡t(asin⁡t)dt(x=acos⁡t)=4ab∫0π2sin⁡2tdt=4ab⋅12⋅π2=πab\begin{align*} A&=4\int_0^ab\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\mathrm dx\\ &=4\dfrac{b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\\ &=4\dfrac{b}{a}\int_{\frac{\pi}{2}}^0-a\sin t(a\sin t)\mathrm dt\quad(x=a\cos t)\\ &=4ab\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t \mathrm dt\\ &=4ab\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi}{2}\\ &=\pi ab \end{align*}

A=4∫0π2∣bsin⁡t⋅asin⁡t∣dt=4ab∫0π2sin⁡tdt=πabA=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}|b\sin t\cdot a\sin t|\mathrm dt=4ab\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^t \mathrm dt=\pi ab

2. 体积#

ΔVi≈f(ξi)Δxi⇒V=∫abA(x)dx=π∫ab[f(x)]2dx\Delta V_i\approx f(\xi_i)\Delta x_i \Rightarrow V=\int_a^bA(x)\mathrm dx=\pi \int_a^b[f(x)]^2 \mathrm dx

例题#

  1. 求 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 绕x轴，y轴旋转一周所围成的体积
  • V1=π∫−aab2a2(a2−x2)dx=43πab2V_1=\pi \int_{-a}^a\dfrac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)\mathrm dx=\dfrac{4}{3}\pi ab^2
  • V2=π∫−bba2(1−y2b2)dy=43πa2bV_2=\pi \int_{-b}^ba^2(1-\dfrac{y^2}{b^2})\mathrm dy=\dfrac{4}{3}\pi a^2b
  1. 求 x2a2+y2b2+z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1 （椭球面）所围成的体积
x=x0y2b2+z2c2=1−x02a2S=πb2(1−x02a2)c2(1−x02a2)=πbc(1−x02a2)V=∫−aaSdx=43πabc\begin{align*} x&=x_0\\ \dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}&=1-\dfrac{x_0^2}{a^2}\\ S&=\pi \sqrt{b^2(1-\dfrac{x_0^2}{a^2})}\sqrt{c^2(1-\dfrac{x_0^2}{a^2})}=\pi bc(1-\dfrac{x_0^2}{a^2})\\ V&=\int_{-a}^aS \mathrm dx=\dfrac{4}{3}\pi abc \end{align*}
  1. 求 x2+y2=a2,x2+z2=a2x^2+y^2=a^2, x^2+z^2=a^2 所围立体体积

解：V=8∫0a(a2−x2)dx=163a3V=8\int_0^a(a^2-x^2)\mathrm dx=\dfrac{16}{3}a^3

3. 弧长#

y=kxl=(b−a)2+k2(b−a)2ΔSi≈(Δx)2+(Δy)2dS=1+f′2(x)dxS=∫abdS={∫ab1+f′2(x)dx∫cd1+g′2(y)dy\begin{align*} y&=kx\\ l&=\sqrt{(b-a)^2+k^2(b-a)^2}\\ \Delta S_i&\approx \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\\ \mathrm dS&=\sqrt{1+f'^2(x)}\mathrm dx\\ S&=\int_a^b \mathrm dS=\begin{cases} \int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\mathrm dx\\ \int_c^d\sqrt{1+g'^2(y)}\mathrm dy \end{cases} \end{align*}

参数方程

{x=ϕ(t)y=ψ(t),α≤t≤β,S=∫αβϕ′2(t)+ψ′2(t)dt\begin{align*} \begin{cases} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases} ,\alpha \le t \le \beta, S=\int_\alpha^\beta \sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}\mathrm dt \end{align*}

极坐标方程

r=ρ(θ),α≤θ≤β,S=∫αβρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ\begin{align*} r=\rho (\theta),\alpha\le \theta\le \beta,S=\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)} \mathrm d\theta \end{align*}

例#

求 {x=a(t−sin⁡t)y=a(1−cos⁡t)(a>0)\begin{cases}x=a(t-\sin t)\\y=a(1-\cos t)\end{cases}(a\gt 0) 弧长 解：

S=∫02π[a(1−cos⁡t)2]+(asin⁡t)2dt=∫02πa2−2a2cos⁡t+a2dt=2a∫02π1−cos⁡tdt=2a⋅2∫02πsin⁡t2dt=2a⋅2[(−cos⁡t2)∣02π]=8a\begin{align*} S&=\int_0^{2\pi}\sqrt{[a(1-\cos t)^2]+(a\sin t)^2}\mathrm dt\\ &=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2-2a^2\cos t+a^2}\mathrm dt\\ &=\sqrt{2}a\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos t}\mathrm dt\\ &=\sqrt{2}a\cdot \sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sin\dfrac{t}{2}\mathrm dt\\ &=2a\cdot 2[(-\cos \dfrac{t}{2})|_0^{2\pi}]=8a \end{align*}

4. 曲率#

定义：平面曲线上各点的弯曲程度为曲率

x=x(t),y=y(t),α≤t≤βx=x(t),y=y(t),\alpha \le t \le \beta

  • 平均曲率 k‾=ΔαΔS=α′−αPQ⌢\overline{k}=\dfrac{\Delta \alpha}{\Delta S}=\dfrac{\alpha'-\alpha}{\stackrel\frown{PQ}}

  • 曲率 K=∣lim⁡Δt→0ΔαΔS∣=∣dαdS∣\displaystyle K=|\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta \alpha}{\Delta S}|=|\dfrac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dS}| ∵α(t)=arctan⁡y′(t)x′(t),dSdt=x′2(t)+y′2(t)\because \alpha(t)=\arctan \dfrac{y'(t)}{x'(t)}, \dfrac{\mathrm dS}{\mathrm dt}=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} ∴dαdS=α′(t)S′(t)=x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)[x′2(t)+y′2(t)]32\therefore \dfrac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dS}=\dfrac{\alpha'(t)}{S'(t)}=\dfrac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{[x'^2(t)+y'^2(t)]^{\frac{3}{2}}} k=∣x′y′′−x′′y′∣(x′2+y′2)32k=\dfrac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}

  • 若曲线由 y=f(x)y=f(x) 给出，则有 k=∣y′′∣(1+y′2)32k=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}

  • 若曲线由 r=r(θ)r=r(\theta) 给出，则有 k=r2+2r′2−rr′′(r2+r′2)32k=\dfrac{r^2+2r'^2-rr''}{(r^2+r'^2)^{\frac{3}{2}}}

5.4 定积分的应用
https://gitee.com/jason_ren/advanced-math-note
作者
Jason Ren
发布于
2025-12-03
许可协议
CC BY-SA 4.0

部分信息可能已经过时

5.3 反常积分
6.1 微分方程的基本概念
© 2025 RYCD. All Rights Reserved. / RSS / Atom / Sitemap
Powered by Astro & Twilight  Version 1.0
封面
Music
Artist
封面
Music
Artist
0:00 / 0:00