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4 分钟

4.2 换元法与分部积分法

2025-12-03

高等数学

数学

$\S 4.2$ 换元法与分部积分法#

一、换元积分法#

$y=f(u)\quad u=\varphi(x)\quad y=f(\varphi(x))$

$\mathrm dy=f'(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx=f'(u)\mathrm du$

$\displaystyle \int 1\mathrm dy=\int f'(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx\rightleftharpoons \int f'(u)\mathrm du$

$\Rightarrow$ ：第一换元积分法
$\Leftarrow$ ：第二换元积分法

定理：

\begin{align*} \int f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx&=\int f(\varphi(x))\mathrm d(\varphi(x))\\ &\overset{u=\varphi(x)}{=}\int f(u)\mathrm du\\ &=F(u)+C\\ &=F(\varphi(x))+C \end{align*}

例题#

$\int \cos x\cdot \sin x\mathrm dx$

解： $u=\sin x$ 换元得

\begin{align*} 原式&=\int \sin x\mathrm d\sin x\\ &=\int u\mathrm du\\ &=\dfrac{u^2}+C\\ &=\dfrac{1}{2}\sin^2x+C \end{align*}

$u=\cos x$ 换元得

\begin{align*} 原式&=-\int \cos x\mathrm d\cos x\\ &=-\int u\mathrm du\\ &=-\dfrac{u^2}{2}+C\\ &=-\dfrac{1}{2}\cos^2x+C \end{align*}

$\int \tan x\mathrm dx$

解：

法一，原式

\begin{align*} &=\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx\\ &=-\int\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}\mathrm dx\\ &\overset{u=\cos x}{=}-\int\dfrac{1}{u}\mathrm du\\ &=-\ln|u|+C\\ &=-\ln|\cos x|+C \end{align*}

法二，原式

\begin{align*} &\overset{t=\tan x}{=}\int t\cdot \dfrac{1}{1+t^2}\mathrm dt\\ &=\int\dfrac{t}{1+t^2}\mathrm dt\\ &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{1+t^2}\mathrm d(t^2+1)\\ &=\dfrac{1}{2}\ln|1+t^2|+C\\ &=\dfrac{1}{2}\ln\sec^2x+C\\ &=\ln|\sec x|+C \end{align*}

$\int \sec x\mathrm dx$

解：

法一（换元法）

\begin{align*} 原式&=\int \dfrac{1}{\cos x}\mathrm dx\\ &=\int \dfrac{\cos x}{\cos^2x}\mathrm dx\\ &=\int \dfrac{1}{1-\sin^2x}\mathrm d\sin x\\ &\overset{t=\sin x}{=}\int \dfrac{1}{1-t^2}\mathrm dt\\ &=\int \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t})\mathrm dt\\ &=-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{1-t}\mathrm d(1-t)+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{1+t}d(1+t)\\ &=\dfrac{1}{2}\ln |\dfrac{1+t}{1-t}|+C=\dfrac{1}{2}\ln|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}|+C \end{align*}

法二

\begin{align*} 原式&=\int \dfrac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\mathrm dx\\ &=\int \dfrac{1}{\sec x+\tan x}\mathrm d(\sec x+\tan x)\\ &=\ln|\sec x+\tan x|+C \end{align*}

[降阶处理]

\begin{align*} \int \cos^2x\mathrm dx&=\int \dfrac{1+\cos 2x}{2}\mathrm dx\\ &=\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{2}x+C \end{align*}

\begin{align*} \int \cos^3x\mathrm dx&=\int (1-\sin^2x)\mathrm d\sin x\\ &=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C \end{align*}

\begin{align*} \int \cos^4x\mathrm dx&=\int(\cos^2x)^2\mathrm dx\\ &=\int (\dfrac{\cos 2x+1}{2})^2\mathrm dx\\ &=\dfrac{1}{32}\sin 4x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{3x}{8}+C \end{align*}

$\displaystyle \int \cos^{2k}x\mathrm dx=\int (\cos^2x)^k\mathrm dx=\int (\dfrac{\cos 2x+1}{2})^k\mathrm dx$

$\displaystyle \int \cos^{2k+1}\mathrm dx=\int (\cos^2x)^k\cos x\mathrm dx=\int (1-\sin^2x)^k\mathrm d\sin x=\int (1-u^2)^k\mathrm du$

\begin{align*} \int (ax+b)^m\mathrm dx&=\dfrac{1}{a}\int(ax+b)^m\mathrm d(ax+b)\\ &=\dfrac{1}{a}\int u^m\mathrm du\\ &=\begin{cases} \dfrac{1}{a}(\dfrac{u^{m+1}}{m+1}+C)=\dfrac{1}{a}\left[\dfrac{(ax+b)^{m+1}}{m+1}\right]+C\quad m\ne -1\\ \dfrac{1}{a}\left[\ln|u|+C\right]=\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|+C\quad m=-1 \end{cases} \end{align*}

$\int \dfrac{1}{a^2+x^2}\mathrm dx$

法一：原式= $\displaystyle \int \dfrac{a}{a^2[1+(\frac{x}{a})^2]}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$

法二：换元 $x=at$

原式 $\displaystyle =\dfrac{1}{a^2+a^2t^2}a\mathrm dt=\dfrac{1}{a}\int \dfrac{1}{1+t^2}\mathrm dt=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$

法三：换元 $x=a\tan t$

原式 $\displaystyle =\int \dfrac{1}{a^2+a^2\tan^2t}a\sec^2t\mathrm dt=\dfrac{1}{a}\int 1\mathrm dt=\dfrac{1}{a}t+C=\dfrac{1}{a}\arctan \dfrac{x}{a}+C$

$\int \dfrac{1}{a^2-x^2}\mathrm dx$ ， $a\gt 0$

法一：换元 $x=at$

\begin{align*} 原式&=\int \dfrac{1}{a\sqrt{1-t^2}}a\mathrm dt\\ &=\int \dfrac{1}{1-t^2}\mathrm dt\\ &=\arcsin t+C\\ &=\arcsin \dfrac{x}{a}+C \end{align*}

法二：换元 $x=a\sin t$

\begin{align*} 原式&=\int \dfrac{1}{a\cos t}a\mathrm d\sin t\\ &=\int \dfrac{1}{\cos t}\cdot \cos t\mathrm dt\\ &=\int 1\mathrm dt\\ &=t+C\\ &=\arcsin\dfrac{x}{a}+C \end{align*}

\begin{align*} \int \dfrac{1}{x^2-a^2}\mathrm dx&\overset{x=a\sec t}{=}\int \dfrac{1}{a\tan t}a\sec t\tan t\mathrm dt\\ &=\int \sec t\mathrm dt\\ &=\ln|\sec t+\tan t|+C\\ &=\ln|\dfrac{x}{a}+\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C\\ &=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{align*}

\begin{align*} \int \dfrac{1}{x^2+a^2}\mathrm dx&\overset{x=a\tan t}=\int \dfrac{1}{a\sec t}a\mathrm d\tan t\\ &=\int \dfrac{1}{\sec t}\sec^2t\mathrm dt\\ &=\int \sec t\mathrm dt\\ &=\ln|\sec t+\tan t|+C\\ &=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C \end{align*}

\begin{align*} \int \dfrac{1}{(a^2+x^2)^2}\mathrm dx&\overset{x=a\tan t}{=}\int \dfrac{1}{a^4\sec^4t}a\sec^2t\mathrm dt\\ &=\dfrac{1}{a^3}\int \dfrac{1}{\sec^2t}\mathrm dt\\ &=\dfrac{1}{a^3}\int \cos^2t\mathrm dt\\ &=\dfrac{1}{a^3}\int \dfrac{\cos 2t+1}{2}\mathrm dt\\ &=\dfrac{1}{a^3}\cdot \dfrac{1}{4}\sin 2t+\dfrac{1}{2a^3}\cdot t+C\\ &=\dfrac{1}{4a^3}\sin 2\arctan\dfrac{x}{a}+\dfrac{\arctan \frac{x}{a}}{2a^3}+C \end{align*}

$\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\mathrm dx$

法一：

\begin{align*} 原式&\overset{x=\sec t}{=}\int \dfrac{1}{\sec t\tan t}\sec t\tan t\mathrm dt\\ &=\int dt\\ &=t+C\\ &=\arccos \dfrac{1}{x}+C \end{align*}

法二：

\begin{align*} 原式&=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}\mathrm d(x^2)\\ &\overset{u=x^2}{=}\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{u\sqrt{u-1}}\mathrm du\\ &\overset{s=\sqrt{u-1}}{=}\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{(s^2+1)s}2s\mathrm ds\\ &=\arctan s+C\\ &=\arctan\sqrt{x^2-1}+C \end{align*}

二、分部积分法#

\begin{align*} (uv)'&=u'v+uv'\\ \rightarrow \int (uv)'\mathrm dx&=\int (u'v)\mathrm dx+\int (uv')\mathrm dx\\ \rightarrow uv&=\int v\mathrm du+\int u\mathrm dv \end{align*}

定理： $\displaystyle \int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du$

例题#

\begin{align*} \int \cos x\sin x\mathrm dx&=\int \underset{u}{\sin x}\mathrm d\underset{v}{\sin x}\\ &=\sin^2x-\int \sin x\mathrm d\sin x\\ &=\sin^2x-(\dfrac{\sin^2x}{2}+C)\\ &=\dfrac{1}{2}\sin^2x+C \end{align*}

\begin{align*} \int \underset{u}{\arctan x}\mathrm d\underset{v}{x}&=x\arctan x-\int \dfrac{x}{1+x^2}\mathrm dx\\ &=x\arctan x+\int \dfrac{-x}{1+x^2}\mathrm d(x^2+1)\\ &=x\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C \end{align*}

\begin{align*} \int \arcsin x\mathrm dx&=x\arcsin x-\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx\\ &=x\arcsin x+\int\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx\\ &=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C \end{align*}

\begin{align*} \int x^2\sin x\mathrm dx&=\int x^2\mathrm d(\cos x)\\ &=-(x^2\cos x-\int \cos x\cdot 2x\mathrm dx)\\ &=-x^2\cos x+2\int \cos x \cdot x\mathrm dx\\ &=-x^2\cos x+2\int x\mathrm d\sin x\\ &=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C \end{align*}

移入优先级：反三角函数 > 对数函数 > 幂函数 > 指数函数 > 三角函数

\begin{align*} \int xe^x\mathrm dx&=\int x\mathrm de^x\\ &=xe^x-\int e^x\mathrm dx\\ &=xe^x-e^x+C \end{align*}

$\displaystyle \int e^x\cos x\mathrm dx$

法一：

\begin{align*} 原式&=\int \cos x\mathrm de^x\\ &=e^x\cos x-\int e^x\mathrm d\cos x\\ &=e^x\cos x+\int e^x\sin x\mathrm dx\\ &=e^x\cos x+\int \sin x\mathrm de^x\\ &=e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\cos x\mathrm dx \end{align*}

$\therefore 原式=\dfrac{1}{2}(e^x\cos x+e^x\sin x)+C$

法二：

\begin{align*} 原式&=\int e^x\cos x\mathrm dx\\ &=\int e^x\mathrm d\sin x\\ &=e^x\sin x-\int \sin xe^x\mathrm dx\\ &=e^x\sin x+\int e^x\mathrm d\cos x\\ &=e^x\sin x+e^x\cos x-\int \cos x\cdot e^x\mathrm dx \end{align*}

$\therefore 原式=\dfrac{1}{2}(e^x\cos x+e^x\sin x)+C$

$\displaystyle \int \sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx$

解：令 $x=a\tan t$ ，则原式 $=a^2\int \sec^3t \mathrm dt$

考虑 $I=\int \sec^3t\mathrm dt$

\begin{align*} I&=\int \sec t\mathrm d(\tan t)\\ &=\sec t\tan t-\int \tan t\mathrm d(\sec t)\\ &=\sec t\tan t-\int \tan^2t\sec t\mathrm dt\\ &=\sec t\tan t-\int (\sec^2t-1)\sec t\mathrm dt\\ &=\sec t\tan t-\int \sec^3t\mathrm dt+\int \sec t\mathrm dt\\ &=\sec t\tan t-I+\ln |\sec t+\tan t|+C_1 \end{align*}

解得 $I=\dfrac{1}{2}(\sec t\tan t+\ln|\sec t+\tan t|+C)$

$\therefore$ 原式 $=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln|\dfrac{x}{a}+\sqrt{\dfrac{x^2+a^2}{a^2}}|)+C$

求 $\displaystyle I_n=\int \dfrac{1}{(a^2+x^2)^n}\mathrm dx$ 的递推公式

解：

\begin{align*} I_n&=\dfrac{x}{(a^2+x^2)^n}-\int x(-n)\dfrac{2x}{(a^2+x^2)^{n+1}}\mathrm dx\\ &=\dfrac{x}{(a^2+x^2)^n}+2n\int \dfrac{x^2+a^2-a^2}{(a^2+x^2)^{n+1}}\mathrm dx\\ &=\dfrac{x}{(a^2+x^2)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1} \end{align*}

$f(x)$ 的一个原函数是 $\dfrac{\cos x}{x}$ ，求 $\displaystyle \int xf'(x)\mathrm dx$

解： $f(x)=(\dfrac{\cos x}{x})'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x^2}$

\begin{align*} \int xf'(x)\mathrm dx&=\int x\mathrm df(x)\\ &=xf(x)+\int f(x)\mathrm dx\\ &=\dfrac{-\sin x\cdot x-\cos x}{x}+\dfrac{\cos x}{x}+C\\ &=-\sin x+C \end{align*}

4.2 换元法与分部积分法

https://gitee.com/jason_ren/advanced-math-note

作者

Jason Ren

发布于

2025-12-03

许可协议

CC BY-SA 4.0

部分信息可能已经过时

2.2 求导法则

4.3 有理函数及其相关的不定积分

面对大河我无限惭愧我年华虚度，空有一身疲倦

——海子

$\S 4.2$ 换元法与分部积分法#

一、换元积分法#

例题#

二、分部积分法#

例题#

面对大河我无限惭愧 我年华虚度，空有一身疲倦

——海子

§4.2\S 4.2§4.2 换元法与分部积分法#

一、换元积分法#

例题#

二、分部积分法#

例题#

面对大河我无限惭愧我年华虚度，空有一身疲倦

$\S 4.2$ 换元法与分部积分法#