一、原函数与不定积分#

• 定义：$f(x)$ 和 $F(x)$ 在 $I$ 上有定义， $F'(x)=f(x)$，则称 $F(x)$ 为原函数。$\mathrm d(x^3)=3x^2\mathrm dx$，则称 $x^3$ 是 $3x^2$ 的一个原函数

1. 存在性定理：若初等函数在定义区间连续，则在该定义区间上存在原函数 $F(x)$
2. $f(x)$ 的全体原函数构成的集合，称为不定积分，记作

3. 初等函数的原函数不一定是初等函数

二、基本积分表#

请熟练记住它们，不要忘记积分常数！

1. $\displaystyle \int k\mathrm dx=kx+C$，$k$ 为常数
2. $\displaystyle \int x^\alpha \mathrm dx=\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C$，$\alpha \ne -1\quad x\gt 0$
3. $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\mathrm dx=\ln |x|+C$
4. $\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\arctan x+C$
5. $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx=\arcsin x+C$
6. $\displaystyle \int \cos x\mathrm dx=\sin x+C$
7. $\displaystyle \int \sin x\mathrm dx=-\cos x+C$
8. $\displaystyle \int \sec^2 x\mathrm dx=\tan x+C$
9. $\displaystyle \int \csc^2 x\mathrm dx=-\cot x+C$
10. $\displaystyle \int \sec x\tan x\mathrm dx=\sec x+C$
11. $\displaystyle \int \csc x\cot x\mathrm dx=-\csc x+C$
12. $\displaystyle \int e^x\mathrm dx=e^x+C$
13. $\displaystyle \int a^x\mathrm dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$，$a \gt 0$ 且 $a\ne 1$

三、性质（线性）#

定理：$f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $I$ 上均存在原函数，$\lambda,\mu$为任意实数，则