例题#

1. 求 $f(x)=(x-1)x^{\frac{2}{3}}$ 的凹凸区间和拐点

解：$f'(x)=x^{\frac{2}{3}}+\dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}(x-1)=\dfrac{5x-2}{3x^{\frac{1}{3}}}$

$f''(x)=\dfrac{2(5x+1)}{9x^{\frac{4}{3}}}$

• $x=-\dfrac{1}{5}$，$f''(x)=0$
• $x=0$，$f''(x)$ 不存在

• 上凹区间 $(-\dfrac{1}{5},+\infty)$，上凸区间 $(-\infty,-\dfrac{1}{5})$，拐点 $(-\dfrac{1}{5},-\dfrac{6}{5\sqrt[3]{25}})$

2. 证明 $\sin x\gt \dfrac{2}{\pi}x, x\in (0,\dfrac{\pi}{2})$

证：$y=\sin x$ 在 $(0,\dfrac{\pi}{2})$ 上为上凸函数，过 $(0,0),(\dfrac{\pi}{2},1)$ 两点的直线方程为 $y-0=\dfrac{2}{\pi}x$

$\therefore$由凸函数定义得 $\sin x \gt \dfrac{2}{\pi}x,x\in (0,\dfrac{\pi}{2})$，证毕

3. 证明 $(\dfrac{a+b}{2})^2\le \dfrac{a^2+b^2}{2}$

证：

$f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)\le \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)$ 且 $\lambda_1+\lambda_2=1$

$y=x^2$ 为上凹函数

詹森不等式[Jensen’s inequality]

$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1$

$f(x)$ 为下凸（上凹）函数：$f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n)\le \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\cdots+\lambda_nf(x_n)$

$f(x)$ 为下凹（上凸）函数：$f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n)\ge \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\cdots+\lambda_nf(x_n)$

4. 证明 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\le \dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$

证：右边= $\dfrac{1}{n}a_1+\dfrac{1}{n}a_2+\cdots+\dfrac{1}{n}a_n$

此时有 $\lambda_i=\dfrac{1}{n}(i=1,2,\cdots,n)$

两边取对数

其中 $y=\ln x$，$y''=-\dfrac{1}{x^2}\lt 0$，为上凸函数

例题#

求 $y=\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}$ 的渐近线

解：$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}=\infty$，无水平渐近线

$\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}=\lim_{x\to -3}\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}=\infty$，垂直渐近线 $x=1$ 和 $x=-3$

$\displaystyle k=\lim_{x\to \infty}\dfrac{\frac{x^3}{x^2+2x-3}}{x}=1$

$\displaystyle b=\lim_{x\to \infty}(\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}-x)=-2$

$\therefore$斜渐近线 $y=x-2$