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3.4 函数的单调性与极值
2025-12-03
高等数学
数学

§3.4\S 3.4 函数的单调性与极值#

一、单调性#

定理1：ff 在区间 II 上可导，ff 单调递增（递减）⇔f′≥0(f′≤0)\Leftrightarrow f'\ge 0(f'\le 0)

证

  • ⇒\Rightarrow：x1<x2∈If(x1)≤f(x2)x_1\lt x_2\in I\quad f(x_1)\le f(x_2)

f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx≥0\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\ge 0

Δx>0\Delta x\gt 0 时，f(x+Δx)≥f(x)f(x+\Delta x)\ge f(x)

Δx<0\Delta x\lt 0 时，f(x+Δx)≤f(x)f(x+\Delta x)\le f(x)

  • ⇐\Leftarrow：f′≥0f'\ge 0 时，对于 x1<x2∈Ix_1\lt x_2\in I，根据拉格朗日中值定理，有 f(x2)−f(x1))x2−x1=f′(ξ)≥0,ξ∈(x1,x2)\dfrac{f(x_2)-f(x_1))}{x_2-x_1}=f'(\xi)\ge 0,\xi \in (x_1,x_2)

从而 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，f(x)f(x) 在 II 上为增函数。f′≤0f'\le 0 同理可证

推论：

  • f′(x)>0⇒f(x)f'(x)\gt 0 \Rightarrow f(x) 在区间 II 上严格单调递增
  • f′(x)<0⇒f(x)f'(x)\lt 0 \Rightarrow f(x) 在区间 II 上严格单调递减

证

x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\lt f(x_2)

若x1<x2f(x1)=f(x2)x_1\lt x_2\quad f(x_1)=f(x_2)，由罗尔定理得 ∃ξ∈(x1,x2)f′(ξ)=0\exists \xi \in(x_1,x_2)\quad f'(\xi)=0 矛盾，另外情况同理

定理2：f(x)f(x) 在 (a,b)(a,b) 上可导，f(x)f(x) 严格单调递增 ⇔\Leftrightarrow

  1. ∀x∈(a,b)f′(x)>0\forall x\in (a,b) \quad f'(x)\gt 0
  2. 在 (a,b)(a,b) 任何子区间上，f′(x)≠0f'(x)\ne 0

例题#

  1. 求 f(x)=3x−x3f(x)=3x-x^3 的单调区间
  • f(x)f(x) 图像如下 f(x)
  • f′(x)=3−3x2f'(x)=3-3x^2 图像如下 f&#x27;(x)

令 f′(x)=0f'(x)=0 得到 x=±1x=\pm 1

(−∞,−1)(-\infty,-1)−1-1(−1,1)(-1,1)11(1,+∞)(1,+\infty)
一阶导正负-0+0-
函数增减性↓↑↓

∴\therefore 增区间 [−1,1][-1,1]，减区间 (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)

  1. 求 f(x)=x23f(x)=x^\frac{2}{3} 的单调区间
  • f(x)f(x) 图像如下 f(x)
  • f′(x)=23x−13f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} 图像如下 f&#x27;(x)
(−∞,0)(-\infty,0)00(0,+∞)(0,+\infty)
一阶导正负-不可导+
函数增减性↓/↑

∴\therefore 增区间 [0,+∞)[0,+\infty)，减区间 (−∞,0](-\infty,0]

一般分界点为驻点、不可导点

  1. 证明 sin⁡x>x−x33!(x>0)\sin x \gt x-\dfrac{x^3}{3!}(x\gt 0)

证：令 f(x)=sin⁡x−x+x36f(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}

f′(x)=cos⁡x−1+12x2f'(x)=\cos x-1+\dfrac{1}{2}x^2

∵f′′(x)=−sin⁡x+x>0\because f''(x)=-\sin x+x\gt 0

∴f′(x)>f′(0)=0\therefore f'(x)\gt f'(0)=0

∴f(x)>f(0)=0\therefore f(x)\gt f(0)=0 即 sin⁡x>x−x33!\sin x\gt x-\dfrac{x^3}{3!}

二、极值和最值#

定义：∀x∈U(x0)\forall x\in U(x_0) 若 f(x)≥f(x0)f(x)\ge f(x_0)，则 f(x0)f(x_0) 称为极小值（先减后增），若 f(x)≤f(x0)f(x)\le f(x_0)，则 f(x0)f(x_0) 称为极大值（先增后减）

定理1[极值第一充分条件]：f(x)f(x) 在 x0x_0 连续，U∘(x0)\overset{\circ}{U}(x_0) 可导

  1. 当 x∈(x0−δ,x0)x\in (x_0-\delta ,x_0) 时，f′(x)≤0f'(x)\le 0；x∈(x0,x0+δ)x\in (x_0, x_0+\delta) 时，f′(x)≥0f'(x)\ge 0；f(x)f(x) 在 x0x_0 处取得极小值
  2. 当 x∈(x0−δ,x0)x\in (x_0-\delta ,x_0) 时，f′(x)≥0f'(x)\ge 0；x∈(x0,x0+δ)x\in (x_0, x_0+\delta) 时，f′(x)≤0f'(x)\le 0；f(x)f(x) 在 x0x_0 处取得极大值
  3. 在 (x0−δ,x0)(x_0-\delta ,x_0) 和 (x0,x0+δ)(x_0, x_0+\delta) 中均有 f′(x)≥0/f′(x)≤0f'(x)\ge 0/f'(x)\le 0，则 f(x)f(x) 在 x0x_0 处不取得极值

定理2[极值第二充分条件]：f(x)f(x) 在 U(x0)U(x_0) 可导，且在 x0x_0 处二阶可导，f′(x0)=0f′′(x0)≠0f'(x_0)=0\quad f''(x_0)\ne 0

  1. 若 f′′(x0)<0f''(x_0)\lt 0，则 f(x)f(x) 在 x0x_0 处取得极大值
  2. 若 f′′(x0)>0f''(x_0)\gt 0，则 f(x)f(x) 在 x0x_0 处取得极小值

注：若 f′(x0)=0f′′(x0)=0f'(x_0)=0\quad f''(x_0)=0，则 x0x_0 处极值情况无法判断

  • 推广：f(x)f(x) 在 U(x0)U(x_0) 存在 n−1n-1 阶导数，且 x0x_0 nn阶可导，f′(x0)=f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0，f(n)(x0)≠0f^{(n)}(x_0)\ne 0，则：
  1. nn 是偶数，f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0)\gt 0 取极小值，f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0)\lt 0 取极大值
  2. nn 是奇数，x0x_0 不取得极值

最值点可能是端点、驻点、不可导点，求最值需要比较三点的函数值

例题#

  1. 求 f(x)=2x3−9x2+12x+3f(x)=2x^3-9x^2+12x+3 的极值

解：f′(x)=6x2−18x+12=6(x−2)(x−1)f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-2)(x-1)

f′′(x)=6(2x−3)f''(x)=6(2x-3)

f′′(1)<0f''(1)\lt 0，取极小值；f′′(2)>0f''(2)\gt 0，取极大值

x(−∞,1)(-\infty,1)1(1,2)(1,2)2(2,+∞)(2,+\infty)
f’(x)+0-0+
f(x)↑极大↓极小↑

极大值 f(1)=8f(1)=8，极小值 f(2)=7f(2)=7

  1. 求 f(x)=(x2−1)3+1f(x)=(x^2-1)^3+1 的极值

解：f′(x)=2x(x2−1)2f'(x)=2x(x^2-1)^2，驻点：x1=0x2=−1x3=1x_1=0 \quad x_2=-1 \quad x_3=1

x(−∞,−1)(-\infty,-1)-1(−1,0)(-1,0)0(0,1)(0,1)1(1,+∞)(1,+\infty)
f’(x)-0-0+0+
f(x)↓非极值↓极小值↑非极值↑

极小值 f(0)=0f(0)=0

  1. 求 y=∣2x3−9x2+12x∣y=|2x^3-9x^2+12x| 在 [−14,52][-\dfrac{1}{4},\dfrac{5}{2}] 上的最值

解：令 y2=(2x3−9x2+12x)2⇒g(x)y^2=(2x^3-9x^2+12x)^2\Rightarrow g(x)

g′(x)=2(2x3−9x2+12x)(6x2−18x+12)g'(x)=2(2x^3-9x^2+12x)(6x^2-18x+12)，驻点 x1=0x2=1x3=2x_1=0\quad x_2=1\quad x_3=2

  • g(0)=0g(1)=25g(2)=16g(−14)=132251024g(52)=25g(0)=0\quad g(1)=25\quad g(2)=16\quad g(-\dfrac{1}{4})=\dfrac{13225}{1024}\quad g(\dfrac{5}{2})=25

  • f(x)_\min=0，f(x)_\max=5

  1. 证明对于任意自然数 nn，xn+2−2xn−1=0x^{n+2}-2x^n-1=0 只有唯一正根

证：

  • 存在正根 令f(x)=xn+2−2xn−1f(x)=x^{n+2}-2x^n-1，f(0)=−1f(0)=-1

存在 aa，使得 f(a)>0f(a)\gt 0

x=2x=2 时，存在n使得 f(x)=xn+2−xn+1−1>0f(x)=x^{n+2}-x^{n+1}-1\gt 0

∴∃ξ∈(0,2)s.t.f(ξ)=0\therefore \exists \xi \in(0,2) \quad s.t. f(\xi)=0

  • 唯一性 f′(x)=(n+2)xn−1(x+2nn+2)(x−2nn+2)f'(x)=(n+2)x^{n-1}(x+\sqrt{\dfrac{2n}{n+2}})(x-\sqrt{\dfrac{2n}{n+2}})，x0=2nn+2x_0=\sqrt{\dfrac{2n}{n+2}}
x(0,x0)(0,x_0)x0x_0(x0,2)(x_0,2)
f’-0+
f↓极小值↑

得证

  1. 做一个有盖圆柱形水池，在体积 VV 固定的情况下，怎样用料最省？

解：V=πr2h⇒h=Vπr2V=\pi r^2h \Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi r^2}，问题转化为求 SS 的最小值

S(r)=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr(r>0)S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\dfrac{2V}{r}(r\gt 0)

S′=4πr−2Vr2⇒S'=4\pi r-\dfrac{2V}{r^2}\Rightarrow 驻点 r=(V2π)13r=\left(\dfrac{V}{2\pi}\right)^\frac{1}{3}

当 r=(V2π)13r=\left(\dfrac{V}{2\pi}\right)^\frac{1}{3} 时，S_\min=2\pi \left(\dfrac{V}{2\pi}\right)^\frac{2}{3}+\sqrt[3]{16\pi V}

3.4 函数的单调性与极值
https://gitee.com/jason_ren/advanced-math-note
作者
Jason Ren
发布于
2025-12-03
许可协议
CC BY-SA 4.0

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3.3 不定式
3.5 函数的凹凸性和图像描绘
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