例题#

1. $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，且 $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to b^-}f(x)$ ，证明：存在 $\xi$ 使得 $f'(\xi )=0$

解： 设

此时 $F(a)=F(b)$，满足罗尔定理

$\therefore$ 存在 $\xi$ 使得 $f'(\xi )=0=F'(\xi )$

2. 证明 $x^5-5x+1=0$ 有且仅有一个小于1的正实数根

证：

• 存在性：$f(x)=x^5-5x+1\quad f(0)=1\quad f(1)=-3\lt 0$，由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$，$f(\xi )=0$
• 唯一性：假设存在 $\xi_1 \ne \xi_2 \in (0,1)$ 有 $f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$，$f(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 连续，$(\xi_1,\xi_2)$ 可导，$f(\xi_1)=f(\xi_2)$

$\Rightarrow \exists \eta \in (\xi_1,\xi_2)$ 有 $f'(\eta )=5\eta^4 -5=0$ ，与 $\eta \in (0,1)$ 矛盾

$\therefore$ 只存在唯一实根

3. 若 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty)$ 可导，且 $f'(x)=0$ 无实根，证明 $f(x)=0$ 至多只有一个实根

证：设有 $\xi_1 \ne \xi_2$ 两实根，$f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$

$f(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 连续，$(\xi_1,\xi_2)$ 可导 $\Rightarrow \exists \xi \in (\xi_1,\xi_2)$，$f'(\xi)=0$，与已知矛盾

$\therefore f(x)=0$ 至多有一个实根

推论#

1. $f(x)$ 在区间 $I$ 可导，且 $f'(x)=0 \Rightarrow f(x)=C$

证：$\forall x_1,x_2$，

$f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow f(x)=C$

$f(x)=\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}(x\in [0,\dfrac{\pi}{2}])$ $f(x)=\text{arccot} x+\arctan x=\dfrac{\pi}{2}(x\in [0,\dfrac{\pi}{2}])$

2. $f(x),g(x)$ 在 $I$ 上可导，且 $f'(x)=g'(x) \Rightarrow f(x)-g(x)=C$

例题#

1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 内可导，证明：$\exists \xi \in(a,b)$ 使 $\dfrac{bf(b)-af(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f'(\xi)$

证：设 $F(x)=xf(x)$

$F'(\xi)=|f(x)+xf'(x)|_{x=\xi}=f(\xi)+\xi f'(\xi)=\dfrac{bf(b)-af(a)}{b-a}$

2. 证明 $\dfrac{h}{1+h}\lt \ln(1+h) \lt h$，$h\gt -1$ 且 $h\ne 0$

证：$h\gt 0\quad \dfrac{1}{1+h}\lt \dfrac{\ln(1+h)}{h}\lt 1$

$\dfrac{\ln(1+h)-\ln(1+0)}{h-0}=\dfrac{1}{1+\xi}\lt 1\quad 0\lt \xi\lt h$

$-1\lt h\lt 0\quad \ln (1+h)=\ln(1+h)-\ln 1=\dfrac{1}{1+\theta h}\cdot h(0\lt \theta \lt 1)$

$\theta \lt \theta h\lt 0 \quad 1+h\lt 1+\theta h\lt 1$

$h\gt \dfrac{h}{1+\theta h}\gt \dfrac{h}{1+h}$，即得证

例题#

1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导（$a\gt 0$）。证明：$\exists \xi \in(a,b)$ 使得 $f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln \dfrac{b}{a}$

证：令 $g(x)=\ln x$，$f(x),g(x)$ 满足柯西定理的条件

$\therefore \exists \xi \in(a,b)$ 使得 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}$ 即 $\dfrac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}}=\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln \frac{b}{a}}$，得证

2. 求证 $\exists \xi \in(1,e)$ 使得 $\sin 1=\cos (\ln \xi)$

证：设 $f(x)=\sin(\ln x),g(x)=\ln x$ 在 $(1,e)$ 上满足柯西定理的条件

$\therefore \exists \xi \in (1,e)\quad \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{\sin(\ln e)-\sin(\ln 1)}{\ln e-\ln 1}=\sin 1$

$g'(x)=\dfrac{1}{x} \quad f'(x)=\cos (\ln x)\cdot \dfrac{1}{x} \quad 左侧=\cos (\ln \xi)$