一、函数的微分#

• 定义：$y=f(x)$ 在 $U(x)$ 有定义，若 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=A\cdot \Delta x+o(\Delta x)$（$A$ 与 $\Delta x$ 无关），则 $y=f(x)$ 在 $x$ 处可微，称 $A\cdot \Delta x$ 为 $y=f(x)$ 的微分，记作 $\mathrm dy=A\cdot \Delta x=A\cdot \mathrm dx$

如 $S=x^2$，$\mathrm dS=2x\cdot \Delta x=2x\mathrm dx$

如 $y=x^3$，$\mathrm dy=3x^2\cdot \Delta x=3x^2\mathrm dx$

• 定理：函数在一点可微 $\Leftrightarrow$ 函数在一点可导，且 $\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx$

证明：

$\Rightarrow$：$\Delta y=A\cdot \Delta x+o(\Delta x)$

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=A+\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=A+0=A \quad \mathrm dy=A\mathrm dx=f'(x)\mathrm dx$

$\Leftarrow$：$f'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\quad \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha$

$$$$

\begin{align*} \Delta y&=f’(x)\Delta x+\alpha \Delta x\ &=\underset{线性部分}{f’(x)\Delta x}+\underset{高阶无穷小}{o(\Delta x)} \end{align*}

二、微分的运算法则#

与导数运算法则类似

• $u,v$ 均可微：
  1. $\mathrm d(u\pm v)=\mathrm du\pm \mathrm dv$
  2. $\mathrm d(uv)=v\cdot \mathrm du+u\cdot \mathrm dv$
  3. $\mathrm d\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{v\cdot \mathrm du-u\cdot \mathrm dv}{v^2}$
  4. 一阶微分的形式不变性（设 $y=f(u),u=\phi(x)$ 均可导）
  $$\begin{align*} \mathrm d\{f[\phi(x)]\}&=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}f[\phi(x)]\cdot \mathrm dx\\ &=f'(u)\phi'\mathrm dx\\ &=f'(u)\mathrm du \end{align*}$$

三、微分的几何意义#

• $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处切线方程 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$

以直代曲要求

1. $x-x_0\to 0$
2. $f(x_0),f'(x_0)$ 可计算且相对容易