例题#

1. $\sin y+e^y-x=0$，求 $y',y''$

解：两边关于 $x$ 求导（复合导数）

2. 求 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 在 $(2,\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$ 的切线方程

解：两边关于 $x$ 求导

3. $y=\left(\dfrac{a}{b}\right)^x\left(\dfrac{b}{x}\right)^a\left(\dfrac{x}{a}\right)^b,a\gt 0,b\gt 0,\dfrac{a}{b}=1$，求 $y'$

解

法一：

法二（对数求导法）：

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\ln \dfrac{a}{b}-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x}$

$y'=y\cdot (\ln\dfrac{a}{b}+\dfrac{b-a}{x})=a^{x-b}b^{a-x}x^{b-a}(\ln \dfrac{a}{b}+\dfrac{b-a}{x})$

例题#

1. $\begin{cases}x=3e^{-t}\\y=2e^t\end{cases}$ ，求 $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$

解： $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{2e^t}{-3e^{-t}}=-\dfrac{2}{3}e^{2t}$

$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}(-\dfrac{2}{3}e^{2t})=-\dfrac{4}{3}e^{2t}\cdot \dfrac{1}{-3e^{-t}}=\dfrac{4}{9}e^{3t}$

2. $\begin{cases}x=f'(t)\\y=tf'(t)-f(t)\end{cases}$ ，且 $f^{(2)}(x)\ne 0$ ，求 $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$

解： $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{f'(t)+tf''(t)-f'(t)}{f''(t)}=t$

$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\dfrac{\mathrm d(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx})}{{\mathrm dt}}}{\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}=\dfrac{1}{f^{(2)}(t)}$

3. 求 $r=e^{a\theta}$ 在 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ 处的切线方程

解：

$k=\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}|_{\theta = \frac{\pi}{2}}=-a$

$l:y-e^{\frac{\pi a}{2}}=-ax$ 即 $y+ax=e^{\frac{\pi a}{2}}$

4. $\begin{cases}x=t^2+2t\\t^2-y+\varepsilon \sin y=1\end{cases}(0\lt \varepsilon \lt 1)$，求 $y$ 对 $x$ 的导数

解：

$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}=\dfrac{\frac{2t}{1-\varepsilon \cos y}}{2t+2}=\dfrac{t}{(1+t)(1-\varepsilon \cos y)}$

例题#

1. 圆的半径 $r$ 以 $2cm/s$ 速度匀速增加，求圆面积 $S$ 在 $r=10cm$ 时的增加速度。

解：

$\dfrac{\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}}=\dfrac{\mathrm dS}{\mathrm dr}=2\pi r$

$\dfrac{\mathrm dS}{\mathrm dt}|_{r=10}=2\pi \times 10 \times 2=40\pi (cm/s^2)$

2. 圆锥形容器以 $25cm^3/s$ 速度注水，当容器中的水位位于 $\dfrac{h}{2}$ 时，求此时水位的上升速度。

解：

由相似关系得 $\dfrac{r}{R}=\dfrac{h-x}{h}$

两边关于 $t$ 求导得

$\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=0-\dfrac{1}{3}\pi \left(\dfrac{R}{h}\right)^2\cdot 3(h-x)^2\cdot (-1)\cdot \dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$

$\therefore \dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}|_{x=\frac{h}{2}}=\dfrac{100}{\pi h^2}(cm/s^2)$