一、四则运算#

设 $u(x)$、$v(x)$ 可导

二、反函数的求导法则#

定理：$y=f(x)$ 在$U(x)$ 严格单调且可导 $\Rightarrow x=\phi(y)$ 在点$y$ 可导，且 $\phi'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$

证明：

\begin{align*}

\phi’(y)&= \lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y)}{\Delta y}\ &=\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta y}\ &=\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\ &=\dfrac{1}{f’(x)} \end{align*}

三、复合函数求导#

定理：$y=f(u)$ 可导，$u=\phi(x)$ 可导 $\Rightarrow y=f[\phi(x)]$ 可导且

• 推广：$\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d u}\dfrac{\mathrm d u}{\mathrm d v}\dfrac{\mathrm d v}{\mathrm d x}$

导数的基本公式：

1. $(C)'=0$，$C$为常数
2. $(x^a)'=ax^{a-1}$
3. $(a^x)'=a^x\ln a$，$(e^x)'=e^x$
4. $(\log_a{x})'=\dfrac{1}{x\ln a}$，$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$
5. $(\sin x)'=\cos x$
6. $(\cos x)'=-\sin x$
7. $(\tan x)'=\sec ^2x$
8. $(\cot x)'=-\csc ^2x$
9. $(\sec x)'=\sec x\tan x$
10. $(\csc x)'=-\csc x\cot x$
11. $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
12. $(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
13. $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$
14. $(\text{arccot}x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$
15. $(\sinh x)'=\cosh x$，$(\cosh x)'=\sinh x$
16. $(\tanh x)'=\dfrac{1}{\cosh ^2x}$，$(\coth x)'=-\dfrac{1}{\sinh ^2x}$
17. $(\text{arcsinh}x)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
18. $(\text{arccosh}x)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
19. $(\text{arctanh}x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$

例题#

1. • $y=\sin x^2$，求 $y'$

     解：$(u=x^2)\quad y'=f'(u)\phi'(x)=\cos u\cdot 2x=\cos x^2 \cdot 2x$

   • $y=\tan ^3(\ln x)$，求 $y'$

     解：$(y=u^3,u=\tan v,v=\ln x)\quad y'=3u^2\sec^2v\dfrac{1}{x}=3\tan^2(\ln x)\sec^2 (\ln x)\dfrac{1}{x}$

   • $y=u(x)^{v(x)}$，$u(x)\gt 0$，$u(x),v(x)$ 可导，求 $y'$

     解：

     • 法一 $\ln y=v(x)\ln u(x)$

       两边对 $x$ 求导 $\dfrac{1}{y}\cdot y'=v'(x)\ln u(x)+v(x)\dfrac{1}{u(x)}u'(x)$ $\therefore y'=u(x)^{v(x)}[v'(x)\ln u(x)+v(x)\dfrac{u'(x)}{u(x)}]$

     • 法二 原函数可写为$y=e^{\ln u(x)v(x)}$

       $y'=e^{\frac{u'(x)}{u(x)}v(x)+\ln u(x)v'(x)}$

2. $y=\dfrac{(x+5)^2(x-4)^{\frac{1}{3}}}{(x+2)^5(x+4)^{\frac{1}{2}}}$，求$y'$

   解：

3. $y=\ln |x|$，求$y'$

   解：

1
求导并讨论$f'(x)$ 的连续性
2

3
解：$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}|x|\arctan \dfrac{1}{x}=0=f(0)$，$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续
4
* $x\gt 0$时，$f'(x)=\arctan \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{1+x^2}$
5
* $x\lt 0$时，$f'(x)=-\arctan \dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{1+x^2}$
6

7
$\therefore x\ne 0$时，$f'(x)=\dfrac{x}{|x|}\arctan \dfrac{1}{x}-\dfrac{|x|}{1+x^2}=g(x)$，$f'(0)=\dfrac{\pi}{2}$
8

9
$$
10
   g(x)=f'(x)=\begin{cases}
11
\dfrac{x}{|x|}\arctan \dfrac{1}{x}-\dfrac{|x|}{1+x^2} &,x\ne 0\\
12
\dfrac{\pi}{2}&,x=0
13
  \end{cases}
14
$$
15

16
又 $\displaystyle \because \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}f'(x)=\dfrac{\pi}{2}=f(0)$
17

18
$\therefore f'(x)$ 在 $x=0$上连续，$f'(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续