定理1（最值定理）#

若$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有最大值$M$，最小值$m$。

推论：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $\Rightarrow f(x)$ 有界

定理2（介值定理）#

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\forall \mu \in (f(a),f(b))\quad \exists \xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi)=\mu$

推论1. $\exists x\quad f(x)\in [m,M]$

推论2（零点定理） $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(a)f(b)\lt 0 \Rightarrow x_0 \in (a,b)\quad f(x_0)=0$

定理3（一致连续）#

$f(x)$ 在 $I$ 有定义，$\forall \epsilon \gt 0 \quad \delta \gt 0 \quad \forall x_1,x_2\in I\quad |x_1-x_2|\lt \delta$，则 $|f(x_1)-f(x_2)|\lt \epsilon$

• $f(x)$ 在 $I$上一致连续 $\Rightarrow f(x)$ 在 $I$ 上连续

3. 证明$f(x)=\dfrac{1}{x}$：<整理时不记得思路了，不确定这个过程对不对>

1. 在 $[a,1]$ 上一致连续（ $a \gt 0$）

证：$\forall \epsilon \gt 0\quad \exists \delta =a^2\epsilon \quad |x_1-x_2|\lt \delta$

$$$$

\begin{align*} |f(x_1)-f(x_2)|&=\dfrac{|x_1-x_2|}{x_1x_2}\lt \dfrac{\delta}{a^2}=\epsilon \ a&\le x_1x_2\le 1\ &x_1x_2\ge a^2 \end{align*}

2. 在 $(0,1)$ 上非一致连续 证：$\exists \epsilon_0=\dfrac{1}{2}\gt 0\quad \delta \gt 0 \quad \exists x_1(\dfrac{1}{n}),x_2(\dfrac{1}{n+1})\in I$，当 $|x_1-x_2|\lt \delta$ $|f(x_1)-f(x_2)|\ge \epsilon_0$，$|n-(n+1)|=1\gt \dfrac{1}{2}$

定理4#

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $\Rightarrow f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续