例题#

1. 生动理解连续性

   $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}&, x\ne 1\nonumber \\ 10&, x= 1\nonumber \end{cases}$$

   

   $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}&, x\ne 1 \\ 2&, x= 1 \end{cases}$$

   

2. 证明$y=\sin x$在 $\mathbb{R}$ 上任意点均连续

   证：$\forall \epsilon \gt 0, \exists \delta = \epsilon, 当|x-x_0|\lt \delta$：

   $$\begin{align*} |\sin x-\sin x_0| &= |2\cos \dfrac{x+x_0}{2}\sin \dfrac{x-x_0}{2}|\\ &\le 2|\sin \dfrac{x-x_0}{2}|\\ &\le 2|\dfrac{x-x_0}{2}| \\ &\lt \delta \\ &= \epsilon \end{align*}$$

• 定义3：左连续 $\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$，右连续 $\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$
• 定义4：$f(x)$ 在 $(a,b)$ 连续，且在 $x=a$ 处右连续，在 $x=b$ 处左连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，是 $[a,b]$ 上的连续函数
• 定理：$\displaystyle x_0\in (a,b) \quad \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$，

3. 判断$f(x)=\begin{cases}x^2 &x\le 1\\x+1 & x\gt 1 \end{cases}$ 在$x=1$处的连续性

   解：图象如下：

   函数在 $x=1$ 不连续，左右极限存在

   $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x^2=1=f(1)$，左连续 $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(x+1)=2\ne f(1)$，非右连续

4. $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续，$f(x_0)\gt 0$，证：$\exists U(x_0), f(x)\gt \dfrac{f(x_0)}{2}\gt 0$

   $\because f(x)$ 在 $x_0$ 连续

   $\therefore \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\gt 0$

   $\forall \epsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0$，当 $|x-x_0|\lt \delta$ 时，$|f(x)-f(x_0)|\lt \epsilon$ 成立

   $f(x_0)-\epsilon \lt f(x) \lt f(x_0)+\epsilon$

   取 $\epsilon=\dfrac{f(x_0)}{2}$，则 $0\lt \dfrac{f(x_0)}{2}\lt f(x)$，得证

局部保号性

$$$$

\lim_{x\to x_0}f(x)=A\gt 0 \Rightarrow x\in \overset{\circ}{U}(x_0), f(x)\gt \dfrac{A}{2}\gt 0

例题#

1. $f(x)=\dfrac{1}{1-e^\frac{x}{1-x}}$，讨论间断点类型

   解：$x=1$ 和 $x=0$ 是间断点 $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=0$，$\displaystyle \lim_{x\to 1^+}f(x)=1$，$\displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x)=+\infty$，$x=1$是I类跳跃间断点，$x=0$是II类无穷间断点

2. $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续 $?\Leftrightarrow |f(x)|$ 或 $|f^2(x)|$ 在 $x_0$ 连续

   $\Rightarrow$：$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f^2(x)=f(x_0)\cdot f(x_0)=f^2(x_0)$

   $\forall \epsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad |x-x_0|\lt \delta$

   $||f(x)|-|f(x_0)||\lt |f(x)|-|f(x_0)| \lt \epsilon$

例题#

1. 计算极限

   $$\begin{align*} &\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\cos^2x}{\cos2x}\right)^{\frac{a}{x^2}} (a \ne 0)\\ = &\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}\right)^{-\frac{a}{x^2}} \\ = &\lim_{x\to 0}(1-\tan^2x)^{-\frac{1}{tan^2x}\cdot \frac{\tan^2x}{x^2}\cdot a} \\ = &e^a \end{align*}$$

2. $f(x),g(x)$ 连续，证明：$\phi(x)=\max\{f(x),g(x)\}$、$\psi(x)=\min\{f(x),g(x)\}$ 连续

   证：

   • $f(x)\gt g(x)$，$\phi(x)=f(x)=\dfrac{f(x)+g(x)}{2}+\dfrac{f(x)-g(x)}{2}$
   • $f(x)\lt g(x)$，$\phi(x)=g(x)=\dfrac{g(x)+f(x)}{2}+\dfrac{g(x)-f(x)}{2}$

   $\therefore \phi(x)=\underset{连续函数}{\dfrac{f(x)+g(x)}{2}}+\underset{连续函数}{\dfrac{|f(x)-g(x)|}{2}}$，$\phi(x)$ 是连续函数

   同理，$\psi(x)=\underset{连续函数}{\dfrac{f(x)+g(x)}{2}}+\underset{连续函数}{\dfrac{|f(x)-g(x)|}{2}}$，$\psi(x)$ 是连续函数，得证

• 定理3. 基本初等函数在定义域上连续，初等函数在定义区间上连续

3. $f(x)=\begin{cases}x^2 \quad &x\le 1\\ 2-x \quad &x\gt 1\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}x \quad &x\le 1\\ x+4 \quad &x\gt 1\end{cases}$，讨论 $f[g(x)]$ 的连续性

   解：

   $$\begin{align*} f[g(x)]&=\begin{cases}[g(x)]^2 \quad &g(x)\le 1\\ 2-g(x) \quad &g(x)\gt 1\end{cases} \\ &=\begin{cases}x^2 \quad &x\le 1\\ -x-2 \quad &x\gt 1\end{cases} \end{align*}$$

   在 $(-\infty, 1)\cup (1,+\infty)$ 上连续，$x=1$ I类跳跃间断