一、无穷小量#

定义：设 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 上定义，对于任意 $\epsilon \gt 0$ ，存在 $\delta \gt 0$ ，当 $0\lt |x-x_0|\lt \delta$ 时，有 $|f(x)|\lt \epsilon$ ，则称 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 的无穷小量，记作 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=0$

例：$\displaystyle \lim_{x\to 0}x=0\Rightarrow f(x)=x$ 是当 $x\to 0$ 时的无穷小量 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ 是当 $x\to \infty$时的无穷小量

• 定理1：设$f(x)=A+\alpha(x)$，A为不为零的常数。

  $$\lim f(x)=A \Leftrightarrow \lim \alpha(x)=0$$

  证明：不妨设 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=A$ 由定义知 $\forall \epsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0$，当 $0\lt |x-x_0|\lt \delta$ 时有 $|\alpha(x)|=|f(x)-A|\lt \epsilon$ 即 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ 若 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$，则 $|f(x)-A|=|\alpha(x)|\lt \epsilon$ 即 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=A$

• 所以，若在某种趋势下 $f(x)$ 有极限 $A$ ，则 $f(x)=A+\alpha(x)$，其中 $\alpha(x)$ 为无穷小量

二、无穷大量#

定义：若对任意 $M\gt 0$，总存在 $\delta \gt 0$，当 $0\lt |x-x_0|\lt \delta$时，恒有 $|f(x)|\gt M$ 成立，则称 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 的无穷大量，记作 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$（不表示极限存在）

• 正无穷大量 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$：$\forall M\gt 0, \exists X\gt 0,当x\gt X时,f(x)\gt M$
• 负无穷大量 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$：$\forall M \gt 0, \exists \delta \gt 0,当x_0-\delta\lt x \lt x_0时,f(x)\lt -M$

无穷大量 $\rightarrow$ 无界，无界 $\not \rightarrow$ 无穷大量（反例：$y=x\sin x$ 无界但非无穷大($x\to \infty$)）

• 定理2：同一变化趋向下，若 $f(x)$ 为无穷大量，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 为无穷小量；若 $f(x)$ 为无穷小量，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 为无穷大量[$f(x)\ne 0$]

证明：

• 设 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，$\forall \epsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad 当0\lt |x-x_0|\lt \delta时 \quad 有|f(x)|\gt M$ 取 $M=\dfrac{1}{\epsilon}$，此时 $\left|\dfrac{1}{f(x)}\right|=\dfrac{1}{|f(x)|}\lt \dfrac{1}{M}=\epsilon$，即有 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{1}{f(x)}=0$
• 设 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=0$，$\forall \epsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad 当0\lt |x-x_0|\lt \delta时 \quad 有|f(x)|\lt \epsilon$ 取 $M=\dfrac{1}{\epsilon}$，此时 $\left|\dfrac{1}{f(x)}\right|=\dfrac{1}{f(x)}\gt \dfrac{1}{\epsilon}=M$，即有 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{1}{f(x)}=\infty$

• 几个常用的无穷小量和无穷大量
  • $\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^n=\infty \quad \displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{1}{x_n}=0$
  • $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty \quad \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{e^x}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0$
  • $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}e^{\frac{1}{x}}=+\infty \quad \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{e^\frac{1}{x}}=\displaystyle \lim_{x\to 0^+}e^{-\frac{1}{x}}=0$

三、无穷小量的性质#

1. （有限项的代数和）若 $\alpha(x)$、$\beta(x)$ 无穷小，且趋势相同，则 $\alpha(x)\pm \beta(x)$ 无穷小
2. 若 $|f(x)|\lt M$，$\alpha(x)$ 为无穷小量，则 $f(x)\alpha(x)$ 为无穷小量

   $|f(x)\alpha(x)-0|=|f(x)||\alpha(x)|\lt M|\alpha(x)|\lt M \cdot \epsilon \sim \epsilon$

• 推论1. 若 $\alpha(x)$ 为无穷小量，$c$ 是常数，则 $c\cdot \alpha(x)$ 是无穷小量
• 推论2. 若 $\alpha_1(x), \alpha_2(x),\cdots, \alpha_i(x)$ 无穷小，则 $\displaystyle \prod_{k=1}^{i}\alpha_k(x)$ 是无穷小量