1. 定义（$\epsilon-\delta$定义）#

$f(x)$ 在 $\overset{\circ}{U} (x_0,\delta')$ 处有定义，$\forall \epsilon \gt 0 \quad \exists \delta \le \delta' \quad 0\lt |x-x_0|\lt \epsilon$，有$A-\epsilon\lt f(x)\lt A+\epsilon$成立

• $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon\gt 0,\exists \delta \gt 0, \forall x \in \overset{\circ}{U} (x_0,\delta') ，有|f(x)-A|\lt \epsilon 成立$
• $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)，其中\displaystyle \lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0(无穷小量)$

2. 函数极限的性质#

与数列极限的性质相似

1. 唯一性
2. 局部有界性

3. 局部保序性

4. 局部保号性

5. 归结原则

3. 单侧极限：左/右极限#

• 对于 $\forall \epsilon \gt 0$，$\exists \epsilon \gt 0$，当 $x_0\lt x \lt x_0+\epsilon$ 时，$|f(x)-A|\lt \epsilon$ 成立，称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x$ 趋向 $x_0$ 时的右极限，记作 $\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$ 或 $f(x_0^+)=A$
• 若当 $x_0-\epsilon\lt x \lt x_0$ 时，$|f(x)-A|\lt \epsilon$ 成立，称$A$为 $f(x)$ 当 $x$ 趋向 $x_0$ 时的左极限，记作 $\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=A$ 或 $f(x_0^-)=A$

定理：$f(x)$ 在点 $x_0$ 存在极限 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $x_0$ 的左右极限都存在且相等

1. 定义#

2. 几何意义#

对于任意 $\epsilon \gt 0$ 总存在 $X\gt 0$，$x\gt X$ 或 $x\lt -X$ 时，曲线 $y=f(x)$ 位于 $y=A+\epsilon$ 与 $y=A-\epsilon$ 之间