例题#

证明 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$

解：$\forall \epsilon\gt 0 \quad \exists N = [\frac{1}{\epsilon}]+1 \quad n \gt N = [\frac{1}{\epsilon}]+1$

$|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}\lt \epsilon$ 恒成立

$\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$

定义1#

$\{x_n\}$ 有界 $\Leftrightarrow \exists M\gt 0,\forall n,|x_n|\le M$

• 性质 1：$\{x_n\}$ 收敛 $\Rightarrow \{x_n\}$ 有界

  证明：设 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=a$，取 $\epsilon =1$

  则 $\exists N$，当 $n\gt N$ 时，有 $|x_n-a|\lt \epsilon=1$

  $a-1=a-\epsilon \lt x_n \lt a+\epsilon = a+1$

  取 $M=\max\{|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_N|,a-1,a+1\}$，则对任意 $n$，有 $|x_n|\le M$

  $\therefore$ 数列 $\{x_n\}$ 有界

• $\{x_n\}$ 有界 $\not \Rightarrow$ $\{x_n\}$ 收敛，反例：$\{(-1)^n\}$

定义2#

$\{x_n\}$ 的每一项中，$x_n\le x_{n+1}$，则称 $\{x_n\}$ 单调递增；$x_n\ge x_{n+1}$，则称 $\{x_n\}$ 单调递减

• $\{x_n\}$ 单调且有界 $\Rightarrow$ $\{x_n\}$ 收敛
• $\{x_n\}$ 非单调 $\not \Rightarrow$ $\{x_n\}$ 发散，反例：$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{(-1)^n}{n}=0$

• 性质 2：若数列存在极限（或数列收敛），则它的极限唯一

  证明（反证法）

  假设 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=a$，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=b$，且 $a \not = b$，不妨设 $b\gt a$

  $\forall \epsilon \gt 0$，$\exists N_1\quad n\gt N_1 \quad a-\epsilon \lt x_n \lt a+\epsilon$

  $\forall \epsilon \gt 0$，$\exists N_2\quad n\gt N_2 \quad b-\epsilon \lt x_n \lt b+\epsilon$

  $\exists N\gt 0 \quad n\gt N \quad N=\max\{N_1,N_2\}$

  取 $\epsilon=\dfrac{b-a}{2}\gt 0$

  此时 $x_n\lt a+\epsilon = b-\epsilon \lt x_n$，矛盾，故 $a=b$

• 性质 3：保序性（保不等号性）

  $$\exists N\gt 0 \quad 当n\gt N 时，x_n\le y_n \Rightarrow \lim_{n\to \infty}x_n\le\lim_{n\to \infty}y_n$$

  证明（反证法）

  设 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=a$，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=b$，假设 $a\gt b$

  $\forall \epsilon \gt 0$，$\exists N_1\quad n\gt N_1 \quad a-\epsilon \lt x_n \lt a+\epsilon$

  $\forall \epsilon \gt 0$，$\exists N_2\quad n\gt N_2 \quad b-\epsilon \lt y_n \lt b+\epsilon$

  $\exists N=\max\{N_1,N_2\}$

  取 $\epsilon=\dfrac{a-b}{2}\gt 0$

  此时 $y_n\lt b+\epsilon = a-\epsilon \lt x_n$，矛盾，Q.E.D

• $\displaystyle x_n\lt y_n \Rightarrow \lim_{n\to \infty}x_n \le \lim_{n\to \infty}y_n$
• $\displaystyle x_n\lt y_n \not \Rightarrow \lim_{n\to \infty}x_n \lt \lim_{n\to \infty}y_n$，反例：$\{\dfrac{1}{n+1}\}$，$\{\dfrac{1}{n}\}$
• 保号性
  • $\displaystyle x_n\ge 0 \Rightarrow \lim _{n\to \infty}x_n\ge 0$
  • $\displaystyle x_n\le 0 \Rightarrow \lim _{n\to \infty}x_n\le 0$
  • $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=a且a\gt 0 \Rightarrow \exists N\gt 0\quad 当n\gt N\quad x_n\gt 0$
  • $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=a且a\ge 0 \not \Rightarrow \exists N\gt 0\quad 当n\gt N\quad x_n\ge 0$，反例：$\{-\dfrac{1}{n}\}$

定义 3（子列）#

从 $\{x_n\}$ 中任意取出 $k$ 项，保持原来顺序，排成新数列 $\{x_{n_k}\}:x_{n_1},x_{n_2},\cdots,x_{n_k},\cdots$，称 $\{x_{n_k}\}$ 为 $\{x_n\}$ 的子数列。显然，有 $n_k\ge k$，当取等号时，为 $\{x_n\}$ 本身

• 性质 4

  $$\lim_{n\to \infty}x_n=a \Leftrightarrow \forall \{x_{n_k}\} ,\lim_{k\to \infty}x_{n_k}=a$$

  证明

  "$\Leftarrow$": $\{x_n\}$ 为一子列，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=a$

  "$\Rightarrow$": $\forall \epsilon \gt 0 \quad n_k\ge k\ge N$

  $\exists k=N \quad |x_{n_k}-a|\lt \epsilon$

• 推论：存在 $\{x_{n_k}\}$ 不收敛于 $a \Rightarrow \{x_n\}$ 发散

• $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=a \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}x_{2k}=\lim_{n\to \infty}x_{2k+1}=a$

  证明

  "$\Rightarrow$": 性质 4，$\{x_{2k}\}$ 与 $\{x_{2k+1}\}$ 均为 $\{x_n\}$ 子列

  "$\Leftarrow$": $\forall \epsilon \gt 0 \quad \exists N=\max\{2N_1+1,2N_2+1\} \quad n\gt N$ 时，$|x_n-a|\lt \epsilon$

  $\exists N_1 \quad k\gt N_1\quad |x_{2k}-a|\lt \epsilon$

  $\exists N_2 \quad k\gt N_2\quad |x_{2k+1}-a|\lt \epsilon$