一、定义#

$\Sigma$ 有向，P、Q、R在 $\Sigma$ 上有界

• 对 $\Sigma$ 进行任意分割 $\Delta S_i$
• 任意取点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$

若 $\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n (P_i\cos\alpha_i +Q_i\cos\beta_i+R_i\cos\gamma_i)\Delta S_i$ 存在，则称之为 $\vec{A}=(P,Q,R)$ 在有向 $\Sigma$ 上对坐标的曲面积分（II类），记作

二、性质#

• 线性

  $$\begin{align*} \iint_\Sigma a_1 P_1(x,y,z)+a_2P_2(x,y,z) \mathrm dy \mathrm dz = a_1\iint_\Sigma P_1(x,y,z)\mathrm dy \mathrm dz + a_2\iint_\Sigma P_2(x,y,z) \mathrm dy \mathrm dz \end{align*}$$

• 可加性

  $$\begin{align*} \because \Sigma &= \Sigma_1+\Sigma_2\\ \therefore \iint_\Sigma P \mathrm dy \mathrm dz &= \iint_{\Sigma_1}P \mathrm dy \mathrm dz + \iint_{\Sigma_2}P \mathrm dy \mathrm dz \end{align*}$$

• 有向性 $\iint_{\Sigma^-}P \mathrm dy \mathrm dz = -\iint_\Sigma P \mathrm dy \mathrm dz$

三、计算#

转化为二重积分

• $\iint_\Sigma R(x,y,z)\mathrm dx \mathrm dy=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm dx \mathrm dy$，上侧取+，下侧取-。
• $\iint_\Sigma R(x,y,z)\mathrm dy \mathrm dz=\pm\iint_{D_{yz}}R(x(y,z),y,z\mathrm dy \mathrm dz$，前侧取+，后侧取-。
• $\iint_\Sigma R(x,y,z)\mathrm dz \mathrm dx=\pm\iint_{D_{zx}}R(x,y(y,z),z\mathrm dz \mathrm dx$，左侧取+，右侧取-。

例题#

1. $I=\iint_\Sigma (x+1)\mathrm dy \mathrm dz+y \mathrm dz \mathrm dx+1 \mathrm dx \mathrm dy$，$\Sigma:x+y+z=1$ 与三个坐标面所围成的外侧

   

   解：$\Sigma = \Sigma_1(z=0, (x,y)\in D_{xy})+\Sigma_2(x=0, (y,z) \in D_{yz})+\Sigma_3(y=0, (x,z)\in D_{zx})+\Sigma_4(x+y+z=1)$

   $I_1=0+0+\iint_{\Sigma_1}1 \mathrm dx \mathrm dy=-\iint_{D_{xy}}\mathrm dx \mathrm dy=-\dfrac{1}{2}$

   $I_2=\iint_{\Sigma_2}(x+1)\mathrm dy \mathrm dz=-\iint_{D_{yz}}(0+1)\mathrm dy \mathrm dz=-\dfrac{1}{2}$

   $I_3=\iint_{\Sigma_3}y \mathrm dz \mathrm dx=-\iint_{D_{zx}}0 \mathrm dz \mathrm dx =0$

   $I_4=\iint_{\Sigma_4}(x+1)\mathrm dy \mathrm dz+\iint_{\Sigma_4}y \mathrm dz \mathrm dx+\iint_{\Sigma_4}\mathrm dx \mathrm dy=\iint_{D_{yz}}(2-y-z)\mathrm dy \mathrm dz+\iint_{D_{zx}}(1-x-z)\mathrm dz \mathrm dx+\iint_{D_{xy}}1 \mathrm dx \mathrm dy=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{3}$

   $I=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+0+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{3}$

2. $I=\iint_\Sigma xyz \mathrm dx \mathrm dy$，$\Sigma:x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧（$x\ge 0$ 且 $y\ge 0$

   

   解：$z=\pm\sqrt{1-x^2-y^2}$，$D_{xy}:x^2+y^2\le 1$（$x\ge 0$ 且 $y\ge 0$）

   $$\begin{align*} I&=\iint_{\Sigma_上} xyz \mathrm dx \mathrm dy+\iint_{\Sigma_下} xyz \mathrm dx \mathrm dy\\ &=+\iint_{D_{xy}}xy\sqrt{1-x^2-y^2}\mathrm dx \mathrm dy+[-\iint_{D_{xy}}xy\sqrt{1-x^2-y^2}\mathrm dx \mathrm dy]\\ &=2\iint_{D_{xy}}xy\sqrt{1-x^2-y^2}\mathrm dx \mathrm dy=\dfrac{2}{15} \end{align*}$$

两类曲面积分的联系#

$\iint_\Sigma P \mathrm dy \mathrm dz+Q \mathrm dz \mathrm dx+R \mathrm dx \mathrm dy = \pm \iint_{D_{xy}}[P(-f_x)+Q(-f_y)+R] \mathrm dx \mathrm dy$（上侧+，下侧-）

• $\Sigma: z=f(x,y)$，$\vec{n}=(-f_x,-f_y,1)$（上）或 $(f_x,f_y,-1)$（下）

$\Sigma: y=g(z,x)$

• $\vec{n}=(-g_x,1,-g_z)$
• $\iint_\Sigma P \mathrm dy \mathrm dz+Q \mathrm dz \mathrm dx+R \mathrm dx \mathrm dy = \pm \iint_{D_{zx}}[P(-g_x)+Q+R(-g_z)] \mathrm dz \mathrm dx$（左侧-，右侧+）

$\Sigma: x=h(y,z)$

• $\vec{n}=(1,-h_y,-h_z)$
• $\iint_\Sigma P \mathrm dy \mathrm dz+Q \mathrm dz \mathrm dx+R \mathrm dx \mathrm dy = \pm \iint_{D_{yz}}[P+Q(-h_y)+R(-h_z)] \mathrm dy \mathrm dz$（左侧-，右侧+）