一、定义#

$\Sigma$ 是分段光滑的空间曲面，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有界。

• 任意分割 $\Delta S_i$
• 任意取点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$

若 $\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$ 存在，则称此式为 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上的曲面积分（I类曲面积分）

记为 $\iint_\Sigma f(x,y,z)\mathrm dS$

$f(x,y,z)=1$ 时，$\iint_\Sigma 1\cdot \mathrm dS=S$（空间曲面 $\Sigma$ 的面积）

二、性质#

• 线性

  $$\begin{align*} \iint_\Sigma af(x,y,z)+bg(x,y,z)\mathrm dS=a\iint_\Sigma f(x,y,z)\mathrm dS+b\iint_\Sigma g(x,y,z)\mathrm dS \end{align*}$$

• 可加性

  $$\begin{align*} \because \Sigma &= \Sigma_1+\Sigma_2\\ \therefore \iint_\Sigma f(x,y,z)\mathrm dS&=\iint_{\Sigma_1}f(x,y,z)\mathrm dS+\iint_{\Sigma_2}f(x,y,z)\mathrm dS \end{align*}$$

• 对称性

  • $\Sigma$ 关于 $xOy$ 面对称，$\Sigma_上$、$\Sigma_下$ $$\begin{align*} \iint_\Sigma f \mathrm dS=\begin{cases}2\iint_{\Sigma_上}\mathrm dS\quad &f(x,y,z)=f(x,y,-z)\\ 0\quad &f(x,y,z)=-f(x,y,-z)\end{cases} \end{align*}$$
  • $\Sigma$ 关于 $yOz$ 面对称，$\Sigma_前$、$\Sigma_后$ $$\begin{align*} \iint_\Sigma f \mathrm dS=\begin{cases}2\iint_{\Sigma_前}\mathrm dS\quad &f(x,y,z)=f(-x,y,z)\\ 0\quad &f(x,y,z)=-f(-x,y,z)\end{cases} \end{align*}$$
  • $\Sigma$ 关于 $xOz$ 面对称，$\Sigma_左$、$\Sigma_右$ $$\begin{align*} \iint_\Sigma f \mathrm dS=\begin{cases}2\iint_{\Sigma_右}\mathrm dS\quad &f(x,y,z)=f(x,-y,z)\\ 0\quad &f(x,y,z)=-f(x,-y,z)\end{cases} \end{align*}$$

轮换对称性

$\Sigma:x^2+y^2+z^2=R^2$（球面） $\iint_\Sigma x^2 \mathrm dS=\iint_\Sigma y^2 \mathrm dS=\iint_\Sigma z^2 \mathrm dS=\dfrac{1}{3}\iint_\Sigma(x^2+y^2+z^2)\mathrm dS=\dfrac{R^2}{3}\iint_\Sigma \mathrm dS=\dfrac{R^2}{3}4\pi R^2$

三、计算#

转化为二重积分

定理：$\Sigma$ 分段光滑，$z=z(x,y)\quad (x,y)\in D_{xy}$，$D_{xy}$ 是 $\Sigma$ 在 $xOy$ 面上的投影，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上连续。

$\Sigma: x=x(y,z)\quad (y,z)\in D_{yz}$：

$\Sigma: y=y(z,x)\quad (z,x)\in D_{zx}$：

例题#

1. $I=\iint_\Sigma (x+z)\mathrm dS$，$\Sigma: x^2+y^2+z^2=R^2(R\gt 0)$ 位于 $z=a(a\gt 0)$ 以上的部分

   

   解：$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\quad(x,y)\in D_{xy}$，$D_{xy}:x^2+y^2\le R^2-a^2$

   $z_x=\dfrac{x}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}$

   $z_y=-\dfrac{y}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}$

   $$\begin{align*} I&=\iint_{D_{xy}}(x+\sqrt{R^2-x^2-y^2})\dfrac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\mathrm dx \mathrm dy\\ &=\iint_{D_{xy}}\dfrac{R_x}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}+R\iint_{D_{xy}}\mathrm dx \mathrm dy\\ &=R\cdot \pi(R^2-a^2) \end{align*}$$

2. $I=\iint_\Sigma (x^2+y^2)\mathrm dS$，$\Sigma: x^2+y^2+z^2=2(x+y+z)$

   解：$\Sigma$ 具有轮换对称性，$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=3$

   $$\begin{align*} I&=\dfrac{2}{3}\iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)\mathrm dS\\ &=\dfrac{4}{3}\iint_\Sigma (x+y+z)\mathrm dS\\ &=\dfrac{4}{3}(\bar{x}+\bar{y}+\bar{z})\cdot 4\pi r^2\\ &=\dfrac{4}{3}\times (1+1+1)\times 4\pi \times 3\\ &=48\pi \end{align*}$$