例题#

1. $I=\int_L (x^2+y^2) \mathrm ds$，$L:x^2+y^2=a^2$ 且 $y\ge 0$（$a\gt 0$）

   解：

   • 法一：$L:\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\end{cases}\quad t\in[0,\pi]$

     $$\begin{align*} I&=\int_0^\pi[(a\cos t)^2+(a\sin t)^2]\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2}\mathrm dt\\ &=\int_0^\pi a^2\cdot a \mathrm dt\\ &=\pi a^3 \end{align*}$$

   • 法二：$I=\int_La^2 \mathrm ds=a^2 \int_L \mathrm ds=a^2\cdot \pi a = \pi a^3$（积分曲线的弧长）

2. $I=\int_L \sqrt{x^2+y^2} \mathrm ds$，$L:x^2+y^2=ax(a\gt 0)$

   解：

   • 法一：$L=\begin{cases}x=\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}\cos t\\y=\dfrac{a}{2}\sin t\end{cases}\quad t\in [0,2\pi]$，$I=\int_0^{2\pi}\sqrt{a(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}\cos t)}\sqrt{(-\dfrac{a}{2}\sin t)^2+(\dfrac{a}{2}\cos t)^2}\mathrm dt=2a^2$
   • 法二：$\rho(\theta)=2\theta,\theta \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$，$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\sqrt{a\cdot a\cos\theta \cdot a\cos\theta}\sqrt{(-a\sin\theta)^2+(a\cos\theta)^2}\mathrm d\theta=2a^2$

3. $I=\int_L |x| \mathrm ds$，$L:|x|+|y|=1$

   解：

   • 法一，L关于y、x轴对称

     $$\begin{align*} I&=4\int_{L_1}|x|\mathrm ds\\ &=4\int_{L_1}x \mathrm ds\\ &=4\int_0^1 x\sqrt{1+(-1)^2} \mathrm dx\\ &=4\sqrt{2}\int_0^1 x \mathrm dx\\ &=2\sqrt{2} \end{align*}$$

   • 法二，L关于 $y=x$ 对称

     $$\begin{align*} I&=\int_L |x| \mathrm ds\\ &=\dfrac{1}{2}\int_L (|x|+|y|) \mathrm ds \\ &=\dfrac{1}{2}\int_L 1 \mathrm ds\\ &=2\sqrt{2} \end{align*}$$

4. $I=\int_L y \mathrm ds$，$L:$ 以(0,0)、(1,0)、(1,1) 为顶点的三角形

   

   解：$L=L_1+L_2+L_3$

   • $L_1: y=0, 0\le x\le 1$，$\int_{L_1} y \mathrm ds=0$
   • $L_2: x=1, 0\le y\le 1$，$\int_{L_2} y \mathrm ds=\int_0^1 y \cdot \sqrt{0^2+1^2} \mathrm dy=\dfrac{1}{2}$
   • $L_3: y=x, 0\le x\le 1$，$\int_{L_3}y \mathrm ds =\int_0^1 x\cdot \sqrt{1^2+1^2}\mathrm dx=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

   $\therefore \int_L y \mathrm ds=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

5. $I=\int_\Gamma (x^2+y^2)\mathrm ds$，$\Gamma: \begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=kt\end{cases}(0\le t\le 2\pi)$

   解：

   $$\begin{align*} I&=\int_0^{2\pi}a^2\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+k^2}\mathrm dt\\ &=2\pi a^2 \sqrt{a^2+k^2} \end{align*}$$

6. $I=\int_\Gamma (2y^2+z^2) \mathrm ds$，$\Gamma:\begin{cases}x^2+y^2+z^2=a^2\\y=x\end{cases}$ 的交线

   解：

   • 法一：在 $\Gamma$ 上，$2y^2+z^2=a^2$，$I=\int_\Gamma a^2 \mathrm ds=a^2 \int_\Gamma \mathrm ds=a^2\cdot 2\pi a^2=2\pi a^3$
   • 法二：$2y^2+z^2=a^2$ 的参数方程是 $\begin{cases}x=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\cos t\\y=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\cos t\\z=a\sin t\end{cases}\quad 0\le t\le 2\pi$，$I=\int_0^{2\pi}[2\cdot (\dfrac{a}{\sqrt{2}}\cos t)^2+(a\sin t)^2]\sqrt{(-\dfrac{a}{\sqrt{2}}\sin t)^2+(-\dfrac{a}{\sqrt{2}}\sin t)^2+(a\cos t)^2}\mathrm dt=2\pi a^3$

7. $I=\int_\Gamma (x^2+y^2+z^2)\mathrm ds$，$\Gamma:\begin{cases}x^2+y^2+z^2=\dfrac{9}{2}\\x+z=1\end{cases}$

   解：

   • 法一：消去z，$x^2+y^2+(1-x)^2=\dfrac{9}{2}$，$\dfrac{(x-\frac{1}{2})^2}{2}+\dfrac{y^2}{4}=1$，$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}\cos t\\y=2\sin t\\z=\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}\cos t\end{cases}$，代入得 $I=18\pi$
   • 法二：$I=\dfrac{a}{2}\int_\Gamma \mathrm ds=\dfrac{9}{2}\cdot 2\pi \cdot 2=18\pi$

例题#

1. 求 $x^2+y^2=a^2$ 被 $x^2+z^2=a^2$ 所截部分面积（第一卦限）

   

   解：$L_1(x^2+y^2=a^2):\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\end{cases}\quad 0\le t \le \dfrac{\pi}{2}$，$f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2}$

   $$\begin{align*} I&=\int_L\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}a\sin t\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2}\mathrm dt\\ &=a^2 \end{align*}$$

2. 求 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$ 在 $x^2+y^2+z^2=1$ 内的面积（第一卦限）

解：$L:x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1 \rightarrow \begin{cases}x=(\cos t)^3\\y=(\sin t)^3\end{cases}\quad 0\le t\le \dfrac{\pi}{2}$，$f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$